اتحاد اویلر

در ریاضیات اتحاد اویلر ( به انگلیسی: Euler's identity ) یا با نامی دیگر معادله اویلر، این اتحاد است که
و در آن
این اتحاد در آنالیز ریاضی به افتخار لئونارد اویلر ریاضیدان سوئیسی نامگذاری شده است؛ و به عنوان نمونه ای از زیبایی ریاضی شناخته می شوند.
اتحاد اویلر حالت خاصی از فرمول اویلر در آنالیز مختلط است که بیان می دارد برای هر عدد حقیقی x :
که در آن مقادیر توابع مثلثاتی sin و cos بر حسب رادیان است. پس اگر x = π ، داریم:
و از آنجا که
و
نتیجه می شود:
که اتحاد اویلر را نتیجه می دهد:
اتحاد اویلر اغلب به عنوان نمونه ای از زیبایی عمیق ریاضی ذکر می شود. [ ۱] در آن سه تا از اعمال حسابی پایه دقیقاً یک بار روی می دهند: جمع، ضرب و توان. این اتحاد همچنین پنج ثابت بنیادین ریاضی را به هم پیوند می دهد:[ ۲]
• عدد ۰، عنصر همانی جمع.
• عدد ۱، عنصر همانی ضرب.
• عدد π، که در هندسه فضای اقلیدسی و ریاضیات تحلیلی همه جا موجود است ( π = ۳٫۱۴۱. . . )
• عدد e، پایه لگاریتم طبیعی، که به طور گسترده ای در آنالیز ریاضی خود را نشان می دهد ( e = ۲٫۷۱۸. . . )
• عدد i، یکه موهومی اعداد مختلط، که میدانی از اعداد هستند که شامل ریشه همه چندجمله ای ها ( آن هایی که ثابت نیستند ) هستند، و مطالعه شان منجر به بینشی عمیق تر در حوزه های مختلف جبر و حسابان شد.
استاد ریاضیات دانشگاه استنفورد، کیث دولین گفته است، «مثل یک غزل شکسپیری که درست همان ماهیت واقعی عشق را مجسم می کند، یا نقاشی ای که زیبایی شکل و قالب انسان را به نمایش می گذارد، که بسیار بیش تر و فراتر از صرفاً منافذ پوستین است، اتحاد اویلر به عمق واقعی هستی نائل می شود. »[ ۳] و پاول ناهین، استاد بازنشسته ( یا به صورت افتخاری از خدمت معاف شده ) دانشگاه نیوهمپشر، که کتابی مختص فرمول اویلر و کاربردهایش در آنالیز فوریه نوشته است، اتحاد اویلر را دارای «زیبایی اعلا» توصیف می کند. [ ۴]