احتمال شرطی

احتمال وقوع پدیدهٔ A در حالی که می دانیم پدیدهٔ B اتفاق افتاده است، یک احتمال شرطی است. احتمال وقوع A به شرط B بدین شکل قابل محاسبه است:[ ۱]
P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B )
که در آن P ( B ) > 0 است.
توضیح اینکه می دانیم احتمال وقوع هر پدیدهٔ تصادفی ( پیشامد ) برابر است با نسبت تعداد اعضای آن پدیده ( پیشامد ) به تعداد اعضای فضای نمونه. در احتمال شرطی، احتمال وقوع پیشامد، P ( A ∩ B ) است که بیانگر احتمال وقوع همزمان پیشامدهای A و B می باشد، و با توجه به اینکه می دانیم B حتماً اتفاق افتاده، فضای نمونه به B کاهش می یابد و نسبت مذکور به صورت فوق محاسبه خواهد شد.
برای نمونه، احتمال اینکه هر فرد معینی در هر روز معین سرفه کند ممکن است تنها ۵٪ باشد. اما اگر بدانیم یا فرض کنیم که آن فرد بیمار است، احتمال سرفه کردن او بسیار بالاتر می رود. برای نمونه، احتمال شرطی سرفه کردن یک فرد بیمار می تواند ۷۵٪ باشد که در این حالت این گونه می شود: P ( سرفه ) = ۵٪ و P ( سرفه|بیماری ) = ۷۵٪.
فرض کنید دو پیشامد A و B در فضای نمونه ای یکسان داده شده اند، در حالی که P ( B ) > 0 است. احتمال شرطی A در حالی که B داده شده باشد، خارج قسمت تقسیم احتمال غیر شرطی توزیع احتمال توأم A و B ، و احتمال غیر شرطی B است. هرچند که در این نمونه میان A و B رابطه وجود دارد، چنین رابطه یا وابستگی بین A و B ضروری نیست و نباید همزمان رخ دهد.
رابطه بالا که تعریف چگونگی محاسبه احتمال شرطی است، توسط کولموگروف تعریف شده است. گرچه، نویسندگان دیگری مانند دفینیتی ترجیح می دهد که احتمال شرطی را به عنوان بدیهیات آماری تلقی کند. گرچه از نظر ریاضی معادلند ولی ممکن است از نظر فلسفی ترجیح داده می شود:[ ۲]
برای احتمال اشتراک دو پیشامد A و B می توان نوشت:
در حالت کلی قاعده ضرب به صورت زیر بیان می شود:
اثبات: برای اثبات قاعده ضرب تعریف احتمال شرطی را در طرف راست رابطه می نویسیم
در ظرفی ۵۲ توپ از ۴ رنگ مختلف ( آبی، قرمز، سبز، سفید ) که هر یک با شماره های ۱ تا ۱۳ مشخص شده اند وجود دارد. این توپ ها را به تصادف بین ۴ نفر تقسیم می کنیم. احتمال این که هر یک از ۴ نفر توپ شماره۱ را دریافت نمایند چقدر است؟
جواب: ابتدا پیشامدهای زیر را تعریف می کنیم:
احتمال مورد نظر برابر است با:
E1 فضای نمونه آزمایش است و از طرفی فردی که توپ شماره ۱ آبی را داشته باشد ۱۲ توپ از ۵۱ توپ دیگر را خواهد داشت بنابراین