اصل موضوع انتخاب ( به انگلیسی: Axiom of choice ) از مهم ترین و جنجال بر انگیزترین اصول موضوع نظریه مجموعه ها است که به سادگی بیان می کند اگر تعدادی مجموعه ناتهی ( خواه تعدادی متناهی و خواه نامتناهی ) در اختیار داشته باشیم، می توان تابعی را تشکیل داد که از هر مجموعه دقیقاً یک عضو را انتخاب کند.
این اصل به طور ضمنی بارها توسط جرج کانتور مورد استفاده قرار گرفته بود ولی ارنست تسرملو برای اولین بار به طور رسمی آن را جز اصول موضوع نظریه مجموعه های تسرملو فرانکیل یا همان ZF قرار داد و از آن برای اثبات قضیه شگفت آور خود، قضیه خوش ترتیبی استفاده کرد. امروزه این اصل به ویژه در توپولوژی، جبر و آنالیز دارای کاربردهای فراوان است و بدون در نظر گرفتن آن بسیاری ار قضایای ریاضی همچون لم زرن قابل اثبات نمی باشند.
فرض کنید وارد یک مغازه میوه فروشی می شوید و در مقابل شما تعدادی جعبه میوه ( که البته خالی نمی باشند! ) وجود دارد. شما می تونید از هر جعبه یک میوه را انتخاب کنید و آن ها را در جعبه ای دیگر جمع آوری کنید. حال بیاید کمی دقیق تر شویم و مثالی تاحدی مشابه را در ریاضیات بررسی کنیم.
فرض کنید A۱, A۲, A۳, . . . , An مجموعه های ناتهی باشند. در این صورت همانند مثال قبل در مورد مغازه میوه فروشی، شما می توانید از هر یک از این مجموعه ها یک عضو را به دلخواه انتخاب کنید و آن ها را در مجموعه ای چون R جمع آوری کنید. مهم نیست تعداد مجموعه ها یعنی عدد n تا چه حد بزرگ است، چرا مطمئناً بعد از انجام دقیقاً n بار انتخاب ( تعداد متناهی عمل انتخاب ) می توان کار را به پایان رساند و به این ترتیب عمل شما بدون هیچ ابهامی قابل انجام است ( هر چند ممکن است تعداد انتخاب ها زیاد باشد ولی به هر حال عملی است ) . همچنین اعضایی هم که انتخاب می شوند از دیدگاه اصل موضوعی تشکیل یک مجموعه می دهند. چرا که اگر a۱∈A۱, a۲∈A۲, a۳∈A۳, . . . , an∈An عناصر انتخاب شده باشند، در این صورت بنا به اصل موضوع تصریح، هر یک از {a۱}, {a۲}, {a۳}, . . . , {an} تشکیل یک مجموعه می دهند و در نتیجه اجتماع آن ها بنابر اصل موضوع اجتماع یعنی همان مجموعه {R={a۱, a۲, a۳, . . . , an تشکیل یک مجموعه می دهد.
در حقیقت تاجایی که با تعداد متناهی مجموعه ناتهی روبه رو هستیم انجام چنین عمل انتخابی به خوبی از نظر ریاضی قابل تعریف و دقیق است. مشکل زمانی بروز می کند که با تعداد نامتناهی مجموعه رو به رو باشیم. آیا در مورد تعداد نامتناهی مجموعه نیز می توان عمل انتخاب را همانند گذشته انجام داد؟ وضوحاً در این مورد با این تفاوت روبرو هستیم که باید تعدادی نامتناهی و بی پایان عمل انتخاب انجام دهیم حال آنکه چنین کاری عملاً برای ما ممکن نیست!
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفاین اصل به طور ضمنی بارها توسط جرج کانتور مورد استفاده قرار گرفته بود ولی ارنست تسرملو برای اولین بار به طور رسمی آن را جز اصول موضوع نظریه مجموعه های تسرملو فرانکیل یا همان ZF قرار داد و از آن برای اثبات قضیه شگفت آور خود، قضیه خوش ترتیبی استفاده کرد. امروزه این اصل به ویژه در توپولوژی، جبر و آنالیز دارای کاربردهای فراوان است و بدون در نظر گرفتن آن بسیاری ار قضایای ریاضی همچون لم زرن قابل اثبات نمی باشند.
فرض کنید وارد یک مغازه میوه فروشی می شوید و در مقابل شما تعدادی جعبه میوه ( که البته خالی نمی باشند! ) وجود دارد. شما می تونید از هر جعبه یک میوه را انتخاب کنید و آن ها را در جعبه ای دیگر جمع آوری کنید. حال بیاید کمی دقیق تر شویم و مثالی تاحدی مشابه را در ریاضیات بررسی کنیم.
فرض کنید A۱, A۲, A۳, . . . , An مجموعه های ناتهی باشند. در این صورت همانند مثال قبل در مورد مغازه میوه فروشی، شما می توانید از هر یک از این مجموعه ها یک عضو را به دلخواه انتخاب کنید و آن ها را در مجموعه ای چون R جمع آوری کنید. مهم نیست تعداد مجموعه ها یعنی عدد n تا چه حد بزرگ است، چرا مطمئناً بعد از انجام دقیقاً n بار انتخاب ( تعداد متناهی عمل انتخاب ) می توان کار را به پایان رساند و به این ترتیب عمل شما بدون هیچ ابهامی قابل انجام است ( هر چند ممکن است تعداد انتخاب ها زیاد باشد ولی به هر حال عملی است ) . همچنین اعضایی هم که انتخاب می شوند از دیدگاه اصل موضوعی تشکیل یک مجموعه می دهند. چرا که اگر a۱∈A۱, a۲∈A۲, a۳∈A۳, . . . , an∈An عناصر انتخاب شده باشند، در این صورت بنا به اصل موضوع تصریح، هر یک از {a۱}, {a۲}, {a۳}, . . . , {an} تشکیل یک مجموعه می دهند و در نتیجه اجتماع آن ها بنابر اصل موضوع اجتماع یعنی همان مجموعه {R={a۱, a۲, a۳, . . . , an تشکیل یک مجموعه می دهد.
در حقیقت تاجایی که با تعداد متناهی مجموعه ناتهی روبه رو هستیم انجام چنین عمل انتخابی به خوبی از نظر ریاضی قابل تعریف و دقیق است. مشکل زمانی بروز می کند که با تعداد نامتناهی مجموعه رو به رو باشیم. آیا در مورد تعداد نامتناهی مجموعه نیز می توان عمل انتخاب را همانند گذشته انجام داد؟ وضوحاً در این مورد با این تفاوت روبرو هستیم که باید تعدادی نامتناهی و بی پایان عمل انتخاب انجام دهیم حال آنکه چنین کاری عملاً برای ما ممکن نیست!
wiki: اصل موضوع انتخاب