اصل موضوع مجموعه توانی از جمله اصول مجموعه ساز در نظریه اصل موضوعی مجموعه های تسرملو - فرانکیل است.
اگر {A={a, b، c یک مجموعه باشد در این صورت زیرمجموعه های مجموعهٔ A عبارت اند از:
{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b، c}, {}
حال ممکن است این سؤال پیش بیاید که آیا زیرمجموعه های مجموعهٔ A که در بالا فهرست شده اند تشکیل یک مجموعه می دهند؟
سعی می کنیم با فرض دانستن اصل موضوع زوج سازی و اصل موضوع اجتماع به این سؤال پاسخ دهیم. برطبق اصل موضوع زوج سازی، {{a}}، {}} و {{b}}، {{c}} و {{a, c}}، {a, b}} و {{a, b, c}}، {b, c}} همگی مجموعه اند و بنابر اصل موضوع اجتماع مجموعه های فوق یعنی {{a}}، {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b، c}, {}} نیز یک مجموعه است که همان طور که مورد نظر ما بود مجموعه ای است دقیقاً شامل زیرمجموعه های مجموعه A.
پس در این حالت با استفاده از دو اصل موضوع از پیش پذیرفته شده و مقدماتی نشان دادیم که زیرمجموعه های A تشکیل مجموعه می دهند. به همین صورت با تعمیم روش فوق می توان این حکم را در مورد هر مجموعه متناهی دیگر نشان داد.
اما در مورد مجموعه های نامتناهی چه طور؟ مثلاً در مورد مجموعه اعداد طبیعی N می توان روش فوق را به کار برد؟
زیر مجموعه های N نامتناهی و ناشمارا می باشند، بنابراین استدلال فوق در مورد آن ها چندان کارآمد نیست چرا که به اصول دیگری که هنوز پذیرفته شده است نیاز دارد. اما به هر صورت به نظر طبیعی می رسد که بگویم زیرمجموعه های اعداد طبیعی نیز تشکیل مجموعه می دهند.
در این مورد با سؤالی کلی تر روبرو می شویم: آیا زیرمجموعه های هر مجموعه دلخواه تشکیل یک مجموعه می دهند؟
گاهی در ارتباط کار با مجموعه ها ممکن است نظر ما به سوی زیرمجموعه های یک مجموعه مفروض جلب شود و با زیرمجموعه های یک مجموعه بیشتر از خود آن مجموعه کار کنیم و لذا در دست داشتن مجموعه ای شامل همه زیرمجموعه های یک مجموعه دارای اهمیت است. پس پاسخ به سؤالات فوق بسیار مهم است و اصل موضوع مجموعه توانی ( Axiom of power set ) پاسخ گوی این پرسش است.
این اصل بیان می کند:
یا به عبارت دیگر برای هر مجموعه، دسته ای از مجموعه ها وجود دارد که ( در میان اعضای خود ) شامل همه زیرمجموعه های آن مجموعهٔ مورد نظر باشد.
به عبارت دیگر برای هر مجموعه دلخواه X مجموعه ای چون P وجود دارد که شامل همه زیرمجموعه های X است یعنی اگر A ⊆ X آنگاه A ∈ P
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفاگر {A={a, b، c یک مجموعه باشد در این صورت زیرمجموعه های مجموعهٔ A عبارت اند از:
{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b، c}, {}
حال ممکن است این سؤال پیش بیاید که آیا زیرمجموعه های مجموعهٔ A که در بالا فهرست شده اند تشکیل یک مجموعه می دهند؟
سعی می کنیم با فرض دانستن اصل موضوع زوج سازی و اصل موضوع اجتماع به این سؤال پاسخ دهیم. برطبق اصل موضوع زوج سازی، {{a}}، {}} و {{b}}، {{c}} و {{a, c}}، {a, b}} و {{a, b, c}}، {b, c}} همگی مجموعه اند و بنابر اصل موضوع اجتماع مجموعه های فوق یعنی {{a}}، {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b، c}, {}} نیز یک مجموعه است که همان طور که مورد نظر ما بود مجموعه ای است دقیقاً شامل زیرمجموعه های مجموعه A.
پس در این حالت با استفاده از دو اصل موضوع از پیش پذیرفته شده و مقدماتی نشان دادیم که زیرمجموعه های A تشکیل مجموعه می دهند. به همین صورت با تعمیم روش فوق می توان این حکم را در مورد هر مجموعه متناهی دیگر نشان داد.
اما در مورد مجموعه های نامتناهی چه طور؟ مثلاً در مورد مجموعه اعداد طبیعی N می توان روش فوق را به کار برد؟
زیر مجموعه های N نامتناهی و ناشمارا می باشند، بنابراین استدلال فوق در مورد آن ها چندان کارآمد نیست چرا که به اصول دیگری که هنوز پذیرفته شده است نیاز دارد. اما به هر صورت به نظر طبیعی می رسد که بگویم زیرمجموعه های اعداد طبیعی نیز تشکیل مجموعه می دهند.
در این مورد با سؤالی کلی تر روبرو می شویم: آیا زیرمجموعه های هر مجموعه دلخواه تشکیل یک مجموعه می دهند؟
گاهی در ارتباط کار با مجموعه ها ممکن است نظر ما به سوی زیرمجموعه های یک مجموعه مفروض جلب شود و با زیرمجموعه های یک مجموعه بیشتر از خود آن مجموعه کار کنیم و لذا در دست داشتن مجموعه ای شامل همه زیرمجموعه های یک مجموعه دارای اهمیت است. پس پاسخ به سؤالات فوق بسیار مهم است و اصل موضوع مجموعه توانی ( Axiom of power set ) پاسخ گوی این پرسش است.
این اصل بیان می کند:
یا به عبارت دیگر برای هر مجموعه، دسته ای از مجموعه ها وجود دارد که ( در میان اعضای خود ) شامل همه زیرمجموعه های آن مجموعهٔ مورد نظر باشد.
به عبارت دیگر برای هر مجموعه دلخواه X مجموعه ای چون P وجود دارد که شامل همه زیرمجموعه های X است یعنی اگر A ⊆ X آنگاه A ∈ P
wiki: اصل موضوع مجموعه توانی