انتگرال سطحی ( Surface integral ) در ریاضیات، یک انتگرال معین است که بر روی یک سطح گرفته می شود. این انتگرال، می تواند به عنوان نظیر دوگانه انتگرال خطی در نظر گرفته شود. با داشتن یک سطح، انتگرال گیری می تواند بر روی میدان های نرده ای ( توابعی که مقدار آنها یک کمیت نرده ای است ) یا برداری آن ( توابعی که مقدار آنها یک بردار اقلیدسی است ) انجام گیرد.
انتگرال گیری بر روی سطوح، در فیزیک و به ویژه در نظریهٔ کلاسیک الکترومغناطیس کاربرد دارد.
برای یافتن یک فرمول صریح برای انتگرال سطحی، باید سطح مورد نظر، S، بر حسب یک دستگاه مختصات خمیده بر روی آن بیان شود ( مانند دستگاه مختصات جغرافیایی روی یک کره ) . اگر چنین بیانی به صورت x ( s , t ) فرض شود که ( s , t ) در یک ناحیه T بر روی صفحه تغییر می کنند، آنگاه انتگرال روی سطح به صورت زیر نوشته می شود:
∫ S f d S = ∬ T f ( x ( s , t ) ) | ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t | d s d t
که عبارت داخل خطوط عمودی در سمت راست معادلهٔ بالا، اندازه بردار حاصل ضرب خارجی مشتق های پاره ای x ( s , t ) بوده و المان سطح نامیده می شود.
برای مثال، برای محاسبهٔ مساحت رویهٔ یک تابع نرده ای مانند z = f ( x , y ) ، می توان روابط زیر را نوشت:
که r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y ) ) . بنابراین، ∂ r ∂ x = ( 1 , 0 , f x ( x , y ) ) و ∂ r ∂ y = ( 0 , 1 , f y ( x , y ) ) . در نتیجه با جایگذاری این مقادیر:
با توجه به استفاده از ضرب خارجی، فرمول های بالا فقط برای سطوح واقع در فضای سه بعدی معتبرند.
اگر v یک میدان برداری بر روی S باشد، یعنی به ازای هر x در S ، v ( x ) یک بردار باشد، انتگرال سطحی این میدان برداری، برداری خواهد بود که هر مؤلفهٔ آن، انتگرال سطحی مؤلفهٔ متناظر آن میدان بر طبق تعریف انتگرال سطحی میدان های نرده ای است.
انتگرال مؤلفهٔ عمودی هر میدان برداری، یک کمیت نرده ای است. اگر یک سیال از سطح S بگذرد به گونه ای که v ( x ) سرعت سیال را در x نشان دهد، شار گذرنده از سطح S برابر با انتگرال سطحی v ( x ) بر روی S است. اگر میدان برداری، مماس بر S باشد، شار گذرنده صفر است، زیرا سیال فقط موازی سطح S در جریان بوده و به داخل یا بیرون آن نمی رود. ولی اگر v تنها در راستای سطح S نبوده و علاوه بر مؤلفهٔ مماسی، مؤلفهٔ عمودی هم داشته باشد، سپس تنها مؤلفهٔ عمودی باعث ایجاد شار خواهد شد. بنابراین برای یافتن شار گذرنده از سطح، باید اندازه تصویر بردار v بر روی بردار عمود بر سطح یا به عبارت دیگر، ضرب داخلی v در بردار عمود بر سطح در هر نقطه ( که حاصل آن یک میدان نرده ای خواهد بود ) ، محاسبه شده و انتگرال گیری شود:
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفانتگرال گیری بر روی سطوح، در فیزیک و به ویژه در نظریهٔ کلاسیک الکترومغناطیس کاربرد دارد.
برای یافتن یک فرمول صریح برای انتگرال سطحی، باید سطح مورد نظر، S، بر حسب یک دستگاه مختصات خمیده بر روی آن بیان شود ( مانند دستگاه مختصات جغرافیایی روی یک کره ) . اگر چنین بیانی به صورت x ( s , t ) فرض شود که ( s , t ) در یک ناحیه T بر روی صفحه تغییر می کنند، آنگاه انتگرال روی سطح به صورت زیر نوشته می شود:
∫ S f d S = ∬ T f ( x ( s , t ) ) | ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t | d s d t
که عبارت داخل خطوط عمودی در سمت راست معادلهٔ بالا، اندازه بردار حاصل ضرب خارجی مشتق های پاره ای x ( s , t ) بوده و المان سطح نامیده می شود.
برای مثال، برای محاسبهٔ مساحت رویهٔ یک تابع نرده ای مانند z = f ( x , y ) ، می توان روابط زیر را نوشت:
که r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y ) ) . بنابراین، ∂ r ∂ x = ( 1 , 0 , f x ( x , y ) ) و ∂ r ∂ y = ( 0 , 1 , f y ( x , y ) ) . در نتیجه با جایگذاری این مقادیر:
با توجه به استفاده از ضرب خارجی، فرمول های بالا فقط برای سطوح واقع در فضای سه بعدی معتبرند.
اگر v یک میدان برداری بر روی S باشد، یعنی به ازای هر x در S ، v ( x ) یک بردار باشد، انتگرال سطحی این میدان برداری، برداری خواهد بود که هر مؤلفهٔ آن، انتگرال سطحی مؤلفهٔ متناظر آن میدان بر طبق تعریف انتگرال سطحی میدان های نرده ای است.
انتگرال مؤلفهٔ عمودی هر میدان برداری، یک کمیت نرده ای است. اگر یک سیال از سطح S بگذرد به گونه ای که v ( x ) سرعت سیال را در x نشان دهد، شار گذرنده از سطح S برابر با انتگرال سطحی v ( x ) بر روی S است. اگر میدان برداری، مماس بر S باشد، شار گذرنده صفر است، زیرا سیال فقط موازی سطح S در جریان بوده و به داخل یا بیرون آن نمی رود. ولی اگر v تنها در راستای سطح S نبوده و علاوه بر مؤلفهٔ مماسی، مؤلفهٔ عمودی هم داشته باشد، سپس تنها مؤلفهٔ عمودی باعث ایجاد شار خواهد شد. بنابراین برای یافتن شار گذرنده از سطح، باید اندازه تصویر بردار v بر روی بردار عمود بر سطح یا به عبارت دیگر، ضرب داخلی v در بردار عمود بر سطح در هر نقطه ( که حاصل آن یک میدان نرده ای خواهد بود ) ، محاسبه شده و انتگرال گیری شود:
wiki: انتگرال سطحی