جبر

[ویکی فقه] یکی از بحث برانگیز ترین و جنجال خیز ترین مباحث فکری بشر بحث جبر و اختیار انسان در افعالش می باشد.از زمانی که اندیشه بشر پیرامون جهان و نیز ماهیت خود شروع شد بحث جبر و اختیار یکی از ذهن مشغولی ها و دغدغه های عمده و اصلی او گردید.آیا انسان تحت فشار و جبر اراده یا اراده هائی ورای اراده خود اقدام به کاری می کند و به عبارتی دیگر افعال او تابع اراده ای غیر از اراده خود اوست یا در کارهای خود مستقل است و افعال او تابع اراده خودش می باشد؟مبحث جبر در مکاتب فکری گوناگون و با مضاف الیه های مختلف مطرح شده است که به همین دلیل پاسخ هائی گوناگون به خود دیده است مانند جبر تاریخی ،جبر فلسفی ، جبر کلامی و ... .در این نوشتار جبر از منظر کلامی و آن هم کلام اشعری مورد بحث و بررسی قرار گرفته است.
جبر به معنای اصطلاحی آن جزء باورهای برخی مردم و در میان مسلمانان گروه «اشاعره» است و به این اعتبار به آنان «جبری» و «جبرگرایان» گفته می شود. در برابر این نظریه دو دیدگاه دیگر مطرح است، یکی «تفویض» که معتزله طرفدار آن هستند و دیگری «امر بین الامرین» که دیدگاه شیعه و فلاسفه است.
دلایل جبر گرایان و نقد و بررسی آنها
جبرگرایان برای اثبات جبر به چندین دلیل تمسّک کرده اند که در شبهات قضا و قدر دو مورد آن بحث و بررسی شده است، دلایل دیگر عبارتند از:۱. خداوند تنها خالق و آفریدگار همه چیز است و از آنجا که مفهوم «چیز» بر اعمال انسان نیز صدق می کند، عمومیت خالقیت خداوند شامل افعال آدمی نیز می گردد. بنابراین تنها خداست که خالق اعمال انسان است و معنای این حصر آن است که آدمی هیچ نقشی در ایجاد فعل خویش ندارد، بنابراین جایی برای مختار بودن او باقی نمی ماند . بررسیحقیقت توحید در خالقیت آن که تنها خالق مستقلی که بدون نیاز به اذن و اجازه موجودات دیگر، دست به آفرینندگی می زند خداوند سبحان است. از این رو، توحید در خالقیت منافاتی با این مدعا ندارد که موجودات دیگر، با اذن الهی و در چارچوب قوانین و سنت هایی که او وضع کرده است، منشأ خلق و ایجاد باشند. در آیات متعددی از قرآن کریم ایجاد و تأثیر به مخلوقات خداوند نسبت داده شده است (مائده/ ۱۱۰ و آل عمران/۴۴)پس توحید در خالقیت آن است که انسان و هر مخلوق دیگری در افعال خویش کاملا مستقل نیست، بلکه فعل او و ایجاد او در طول فعل خداوند قرار دارد ۲. افعال انسان متعلّق اراده الهی است، و به حکم این که اراده خداوند از «مراد» او تخلّف نمی پذیرد و مراد او حتما واقع می شود، پس تحقق افعال انسان امری حتمی و تخلف ناپذیر است، و در این صورت، اختیار و مشیت انسانی فرضی بیش نبوده و واقعیتی ندارد.بررسیمساله گستردگی اراده خدا مورد تصدیق عقل، قرآن و احادیث است ولی برداشتی که جبر گرایان از این اصل کرده اند کاملا نااستوار است، زیرا درست است که آنچه مورد اراده خداوند است حتما واقع می شود ولی باید دید اراده او به چه چیزی تعلق گرفته است. اینجا است که مجبور بودن یا آزادی و اختیار او روشن می شود.هرگاه بگوییم اراده خدا بر تحقق فعلی از افعال انسان بدون هیچ قید و شرط تعلق گرفته است، در این صورت اصل اراده خدا مایه جبر خواهد بود، ولی اگر بگوییم متعلق اراده او بسان تعلق علم و آفرینش او بر افعال بشر است؛ یعنی این که خواسته است هر فعلی از فاعل آن با خصوصیات و ویزگیهایی که در فاعل آن موجود است صادر شود در این صورت اصل تعلق اراده الهی به هر چیزی نه تنها مانع جبر نیست بلکه پشتوانه اختیار است، زیرا او خواسته است که حرارت از آتش و رطوبت از آب بدون اختیار صادر شود ولی درباره انسان خواسته که افعال اختیاری او با کمال آزادی و اختیار از او صادر شود. بنابراین باید گفت اگر فعل انسان به صورت جبر از او سر بزند در این صورت است که مراد خدا ( آنچه او اراده کرده است) از اراده او تخلف می پذیرد و محال لازم می آید .۳. اعتقاد به اینکه قدرت انسان در تحقق افعال او موثر است با عمومیت قدرت خداوند نمی سازد، زیرا به حکم اینکه اجتماع دو قدرت، موثر در ایجاد یک چیز ممکن نیست، هرگاه قدرت انسان در پیدایش فعل او موثر باشد، فعل مزبور از قلمرو قدرت الهی بیرون خواهد بود زیرا قدرت انسان رقیب و در عرض قدرت خداوند خواهد بود، و بدیهی است اجتماع دو قدرت مستقل بر انجام یک فعل ممکن نیست و در نتیجه دفاع از اصل عمومیت قدرت الهی و موثر دانستن آن در تحقق فعل انسان ایجاب می کند که قدرت انسان را فاقد تاثیر بدانیم .بررسیوابستگی فقر ذاتی انسان در وجود و صفات خود به خداوند، قدرت انسان را در طول قدرت وی قرار می دهد نه در عرض آن، و اجتماع دو قدرت، یکی مستقل و دیگری وابسته، بر یک فعل به هیچ وجه محال نیست پس به حکم اینکه ویژگی «قدرت» تاثیرگذاری است، باید قدرت انسان را موثر در فعل او دانست و به بطلان جبر رای داد و به حکم اینکه انسان در وجود و صفات خود وابسته و غیرمستقل است، نباید قدرت او را مستقل در تاثیر پنداشت و رای به بطلان تفویض داد و این همان طریقه متکلمین شیعه است که از آن به «امر بین الامرین» تعبیر می کنند.

[ویکی اهل البیت] این صفحه مدخلی از دائره المعارف لغات قرآن کریم(نثر طوبی) است
از مشتقات این کلمه غیر جبار در قرآن نیامده است به معنی گردنکش و متکبراز «جبر علیه» ای «اکرهه» کسی را برخلاف رضای او بکاری واداشت.
اختیار از لوازم طبیعت انسان است که خداوند او را به این خوی سرشته و مصلحت در آن دانسته است. هیچ چیز بر انسان سخت تر از آن نیست که او را مجبور کنند در کاری و اختیار از او بازگیرند، اگر همه لذائذ جهان را برای کسی فراهم آورند و او را در خانه در بسته گذارند آن نعمت وی را نقمت است. انسان آزادی را با معیشت تنگ برمی گزیند بر نعمت فراخ در زندان اگر کسی خواهد خود را بسوزاند و دیگری او را بازدارد از دست وی می گریزد یعنی مجبوری را سخت تر از سوختن به آتش می داند. خداوند در دین و احکام خویش مردم را مجبور نخواست و اگر جبر می خواست یک تن گناهکار بر روی زمین نبود «ولو شاء لامن من فی الارض کلهم جمیعاً» اگر خدا می خواست اجبار کند همه اهل زمین مؤمن می شدند اما نخواست «لیهلک من هلک عن بینة» تا هر کس هلاک میشود به برهان باشد و هر که زنده می شود نیز به برهان و دلیل باشد.
جبار کسی است که بندگان خدا را مجبور کند به کاری برخلاف رضای خودشان مانند فرعون و نمرود، در حقیقت جباران رقیب پیغمبرانند پیغمبران فرمان کسی را بر دیگری روا نمی دارند، جبار خویش را بالاتر از دیگران می شمارد و آزار و رنج همه را برای آسایش خویش مجاز و صحیح می داند. پیغمبران همه افراد را بنده خدا و در یک رتبه قرار دادند باید حکم خدای را همه گردن نهند نه قوی محکوم ضعفا است و نه ضعفا محکوم قوی.
اگر گوئی پیغمبر صلی الله علیه و آله مردم را به دین اسلام خواند بجنگ و والیان را فرمود: مرتد را بکشند و گناهکار را حد زنند آیا اینها همه جبر نیست؟
گوئیم: قول صحیح آن است که جبر و اکراه در دین صحیح نیست مطلقاً و خداوند از مردم یقین و ایمان خواسته است و با جبر و اکراه یقین حاصل نمی شود، جنگهای پیغمبر برای دفع زحمت و آزار کفار بود چنانکه در آیات جهاد خواهد آمد، اما حد و مجازات گناهکاران خود مؤید آن است که جبر در دین نیست زیرا گناهکاری که به اختیار خود گناه کرده و آزاد بوده است. حد می زنند نه مجبور را معنی اختیار نه آن است که مرتکب اعمال زشت را مجازات نکنند و نه آنکه هر کار هر کس بکند زشت نیست بلکه افعال بعضی نیکواست و بعضی زشت و باید بدکاران را مجازات کرد تا ضرر آنها به دیگران نرسد اما مجازات هم در کار اختیاری است و حکم دین همیشه بر اختیار است نه بر اجبار.
(جبر) در اصطلاح کلام قول مردمی است که گویند انسان در کار خویش اختیار ندارد و هر کس هر چه کند خداوند بر دست او جاری می سازد و هر چه نکند انجام دادن آن بر وی محال است خداشناسان نباید جبری باشند چون جبر ظلم است و خدا ظالم نیست مادیان و ملاحده قهرا جبری هستند زیرا که طبیعت هر چه کند جبر است و آن را از مقتضای خود باز نتوان داشت، به عقیده آنان حرکات انسان نیز نتیجه تغییرات مزاج بدن او است و هر فکری که در دماغ او آید نتیجه اثری جسمانی است که در جهاز عصبی او پدید آمده اول تغییر جسمی است آنگاه تغییر روحی بسبب او قهراً، نه آن که اول تغییر روحی باشد و تغییر جسم بسبب او.
بنابراین در انسان غیرجبر نخواهد بود. گرچه عین لفظ جبر به این معنی در قرآن نیامده است اما آیاتی که توهم جبر از آن می شود بسیار است از جمله آیه 6 و 7 سوره بقره و در هر باب جواب آن داده شده است.

[ویکی الکتاب] معنی سَیَحْشُرُهُمْ: به زودی آنان را محشور خواهد کرد(کلمه حشر به معنای بیرون کردن و کوچ دادن قومی از قرارگاهشان به زور و جبر است)
معنی حَشَرْنَا: گرد آوردیم(کلمه حشر به معنای بیرون کردن و کوچ دادن قومی از قرارگاهشان به زور و جبر است)
معنی حَشَرْنَاهُمْ: آنان را محشور کردیم(کلمه حشر به معنای بیرون کردن و کوچ دادن قومی از قرارگاهشان به زور و جبر است)
معنی مَحْشُورَةً: گردآوری شده -محشور شده(کلمه حشر به معنای بیرون کردن و کوچ دادن قومی از قرارگاهشان به زور و جبر است)
معنی نَحْشُرُ: محشور کنیم(کلمه حشر به معنای بیرون کردن و کوچ دادن قومی از قرارگاهشان به زور و جبر است )
معنی نَحْشُرَنَّهُمْ: حتماً آنها را محشور می کنیم(کلمه حشر به معنای بیرون کردن و کوچ دادن قومی از قرارگاهشان به زور و جبر است)
معنی نَحْشُرُهُ: محشورش می کنیم(کلمه حشر به معنای بیرون کردن و کوچ دادن قومی از قرارگاهشان به زور و جبر است)
معنی نَحْشُرُهُمْ: محشورشان می کنیم(کلمه حشر به معنای بیرون کردن و کوچ دادن قومی از قرارگاهشان به زور و جبر است)
معنی تُحْشَرُونَ: محشور می شوید(کلمه حشر به معنای بیرون کردن و کوچ دادن قومی از قرارگاهشان به زور و جبر است )
معنی حُشِرَ: گرد آورده شد(کلمه حشر به معنای بیرون کردن و کوچ دادن قومی از قرارگاهشان به زور و جبر است )
معنی حَشْرٌ: محشور کردن -بیرون کردن از دیار(کلمه حشر به معنای بیرون کردن و کوچ دادن قومی از قرارگاهشان به زور و جبر است )
معنی حَشَرَ: گرد هم آورد(کلمه حشر به معنای بیرون کردن و کوچ دادن قومی از قرارگاهشان به زور و جبر است)
معنی حُشِرَتْ: محشور شد (کلمه حشر به معنای بیرون کردن و کوچ دادن قومی از قرارگاهشان به زور و جبر است)
معنی یُحْشَرَ: تا گرد هم آورد(کلمه حشر به معنای بیرون کردن و کوچ دادن قومی از قرارگاهشان به زور و جبر است)
تکرار در قرآن: ۱۰(بار)
اصلاح شی‏ء به نوعی از قهر. بستن ضد شکستن. راغب گوید: «اَصْلُ الْجَبْرِ اِصْلاحُ الشَّی‏ءِ بضْریِ مِنَ الْقَهْرِ» در صحاح هست: «الجبر: اَنْ تغنی الرجل او تصلح عظمه من کسر» غنی کردن شخص، اصلاح حال اوست در قاموس آمده: «الجبر خلاف الکسر» در مفردات گفته: جبر گاهی فقط در اصلاح به کار می‏رود مثل قول علی رضی اللّه عنه: یا جابِرُ کُلِّ کِسیرٍ وَ یا مُسَهّرلَ مُسَهِّلَ کُلِّ عَسیرٍ (ای اصلاح گر هر شکسته و ای آسان کننده هر کار دشوار)... و گاهی فقط در قهر استعمال می‏شود نحو «لا جَبْرَ وَ لا تَفْویضز» (اعمال بشر نه قهر مطلق است و نه واگذاری مطلق)... اجبار در اصل، آن است که کسی را بر اجبار کسی مجبور کنند ولی در عرف به اجبار مجرد گفته می‏شود گویند: فلانی را بر فلان کار اجبار کردم. جبّار در انسان به کسی گویند که نقص خود را با ادعاء برتری و دروغین اصلاح و جبران می‏کند و این در انسان فقط به طور ذمّ گفته می‏شود... و به کسیکه بر دیگری قهر می‏کند جبّار گویند مثل و روی تصوّر قهر یا بلندی بر اقران، گفته‏اند: نخلة جبّاره و ناقة جبّارة و اینکه درباره خداوند می‏گوئیم: «جَبّارٌ مُتَکَبِّرٌ» گفته‏اند از جبرت الفقیر است زیرا خدا به واسطه نعمتها حال مردم را اصلاح می‏کند و گفته‏اند از اجبار است زیرا خدا مردم را بر آنچه که اراده کرده مقهور می‏کند. (مفردات باخنصار). ناگفنه نماند معنی جامع جبر، همان اصلاح توأم به نوعی از قهر است و آن، چنانکه صحاح و اقرب الموارد تصریح می‏کند متعدی و لازم هر دو آمده است (اصلاح کردن و اصلاح شدن) و در شعر عجّاج که گوید: «قَدْ جَبَرَ الدّینَ الْاِلهُ فَجَبَر وَ عَوَّرَ الرَّحْمنُ مَنْ وَلیُّ الْعِوَرْ» گفته‏اند «جبر» در اول متعدی و بعد لازم آمده است و نیز ناگفته نماند: همه متفق القول‏اند در اینکه جبّار در انسان صفت ذمّ و در خدا صفت مدح و از سماء حسنی است . علی هذا کلمه جبّار اگر در انسان به کار رود معنایش ظالم و تحمیل کننده اراده خود بر دیگری بنا حق: می‏باشد ولی جبّار در خدا به معنی مصلح است، مصلحی که بر تواناست و یا به معنی مقتدری است که مشیّت او در عالم جاریست و در او ظلم نیست و یا به معنی بسیار ترمیم و جبران کننده است . 1- پیامبران خدا را نافرمانی کردند و از دستور هر ستمگر لجوج پیروی نمودند. . طبرسی فرموده ابو عمر و ابن ذکوان وقتی به «قلب» را با تنوین خوانده‏اند و دیگران به کسر و اضافه به «متکبّر». باید دانست در صورت اوّل معنی آیه می‏شود خدا بر هر قلبی که خود پسند و ستمگر است مهر می‏زند. اگر گوئیم قلب متکبّر و جبّار است علتش آنست که تکبّر و ظلم از آن سرچشمه می‏گیرد. در صورت دوم باید گفت: خدا بر تمام قلبیکه متکبّر و جبّار است مهر بر تمام قلب احاطه می‏کند هلی هذا عموم قلوب از فحوای آیه به دست می‏آید و گرنه «کلّ» راجع به تمام و همه قلب است نه همه قلوب. بعضی‏ها به معنی آیه چندان توجّه نکرده‏اند و بعضی‏ها گفته‏اند در آیه هستی و تقدیر آن چنین است «یَطْبَعُ اللّهُ علی کُلِّ قَلْبِ کُلِّ مُتَکَبِّرٍ...» ولی در تفسیر جلالین مثل نگارنده گفته است. و این آیه مثل آیه «ثُمَّ قَسَتْ قُلُوبُکُمْ» «وَلکِنْ تَعْمَی الْقُلُوبُ...» است پیداست که قساوت و عمی احاطه بر تمام قلب دارد (واللّه العالم). 2- در این آیه هشت تا از اسماء حسنی ذکر شده: پادشاه (مدبّر و مدیر) پاک، سلام، ایمنی دهنده، امین (یارقیب) ،توانا، مصلح، بزرگ. چنانکه گفته شد جبّار به معنی مصلح و ترمیم کننده و یا به معنی مقتدر است . 3- راجع به این آیه به «بطش» رجوع شود. ناگفته نماند از آیات قرآن به دست می‏آید که عمّاق والدین جبّار و ستمگر است نظیر آیه ، این سوره است .

جَبر ( واژه های عربی در زبان فارسی واژه عربی الجبر به معنای «یکی سازی تکه های شکسته شده»[ ۱] و «شکسته بندی»[ ۲] ) به همراه نظریه اعداد، هندسه و آنالیز، یکی از وسیع ترین شاخه های ریاضیات است. جبر در عمومی ترین حالت خود به مطالعه این نمادهای ریاضیاتی می پردازد؛[ ۳] و ریسمانیست که تقریباً تمام ریاضیات را با هم یکپارچه می کند. [ ۴] این شاخه شامل مباحث زیادی مثل حل معادلات مقدماتی تا مطالعه تجریدهایی چون گروه ها، حلقه ها و میدان ها است. بخش های مقدماتی تر جبر را جبر مقدماتی می نامند؛ و بخش های مدرن آن را جبر مجرد یا جبر مدرن می خوانند. جبر مقدماتی اغلب بخش مهم مطالعه ریاضیات، علوم یا مهندسی به علاوه علوم کاربردی دیگری چون پزشکی و اقتصاد می باشد. جبر مجرد یکی از شاخه های اصلی ریاضیات پیشرفته است که عمدتاً توسط ریاضیدانان حرفه ای مطالعه می شود.
جبر مقدماتی با حساب در استفاده از تجرید متفاوت اند. در جبر برخلاف حساب از تجریدهایی چون نمادهایی برای اعداد مجهول یا مقادیری که مجاز به اختیار کردن مقادیر مختلف اند، استفاده می گردد. [ ۵] به عنوان مثال در x + 2 = 5 ، نماد x نامعلوم است، اما با اعمال معکوس های جمعی مقدار x = 3 برای آن پیدا می شود. در E = m c 2 ، نماد E و m متغیر اند، و نماد ثابت سرعت نور در خلأ است. جبر روش هایی برای نوشتن فرمول ها و حل معادلات ارائه می کند که بسیار ساده تر و واضح تر از روش های قدیمی است که همه چیز را بر حسب کلمات یا شکل ها می نوشتند.
واژهٔ جبر کاربردهای تخصصی تر هم دارد. نوعی از اشیاء ریاضیاتی در جبر مجرد را «جبر» می نامند؛ به عنوان مثال در عنوان هایی مثل جبر خطی یا توپولوژی جبری.
• جبر مقدماتی: جبر مقدماتی عملیات پایه ای بر روی چهار عمل اصلی را در بر می گیرد. در این شاخه پیش از تعریف علائمی که اعداد ثابت و متغیرها به وسیلهٔ آن ها از هم تفکیک می شوند، روش هایی برای حل معادلات به کار می رود. [ ۶]
• جبر مجرد: جبر مجرد به مطالعه ساختار جبری پیشرفته تر مثل گروه و حلقه و میدان می پردازد و خود به شاخه های گوناگونی تقسیم می شود:[ ۶]
• جبر جابجایی
• جبر ناجابجایی
• خلاصه کتاب تاریخ تکامل جبر ریاضی از قرن دوم تا قرن بیست و یکم، نوشته جان داربی شر، ترجمه کامران بزرگزاد ایمانی، نشر واژه ۱۴۰۱.

جَبر (algebra)
شاخۀ مهمی از ریاضیات، حاصل از تعمیم و تجرید حساب۱. در جبر، از نمادها۲، معمولاً حروف، برای نمایش متغیرها۳ و کمیت های مجهول۴ استفاده می کنند تا عمل های حساب، علاوه بر اعداد مشخص، با کمیت های متغیر نیز اجرا شوند. مثلاً، گزاره های حسابی ۵×۳=۵+۵+۵ و ۷×۳=۷+۷+۷ حالات خاصی از رابطۀ جبری کلیx + x + x = ۳x اند که در این جا، حرف x نمایندۀ متغیری است که می تواند هر عدد دلخواه را به جای مقدار اختیار کند.(x+ y)۲ = x۲ + ۲xy + y۲ نیز رابطه ای است که در آن دو متغیر x و y ممکن است هر دو عدد دلخواه باشند. همچنین، ممکن است حرف مورد نظر نشان دهندۀ متغیری باشد که مقدارش به عدد یا عددهای خاصی محدود شده است. مثلاً در معادلۀx۲- ۹ = ۰ متغیر x که در این جا مجهول نامیده می شود، فقط می تواند عددهای ۳+ و ۳ـ را اختیار کند.علامت های مثبت و منفی و صفر از قدم هایی است که در راه تعمیم مفاهیم حساب برداشته شده است. یکی از ویژگی های مهم محاسبات جبری این است که با تعدادی متناهی کمیت سروکار دارند و پس از تعدادی متناهی از مراحل پایان می پذیرند. به عبارت دیگر، فرآیندهایی که با بی نهایت کمیت و مرحله سروکار دارند و در آن ها جواب «درحد» به دست می آید، عموماً به جبر تعلق ندارند. از فواید مهم جبر و موضوع اصلی جبر مقدماتی، تعیین مقادیر مجهول از طریق حل معادلات، به خصوص معادلات چندجمله ای۵ است (← معادله). دترمینان۶ و ماتریس۷ ابزارهایی برای تسهیل حل دستگاه های معادلات اند. دستگاه معادلات عبارت است از چند معادله که ریشه۸ های مشترک آن ها مورد نظر باشد. تا چند قرن پیش، کلمۀ جبر به مبحث معادلات اطلاق می شد. این کلمه از کتاب حساب الجبر و المقابله اثر محمد بن موسی خوارزمی، ریاضیدانِ ایرانیِ قرن ۳ق، نشأت گرفته است. خوارزمی اصطلاح جبر را برای افزودن کمیت های مساوی به دو طرف معادله به کار می برد. پس از ترجمۀ رسالۀ خوارزمی به زبان لاتینی، این اصطلاح به زبان های اروپایی راه یافت و نام رشته ای شد که بعدها از مطالعۀ معادلات فراتر رفت و بررسی انواعی از ساختارهای مجرد ریاضی را نیز دربر گرفت. جبر، نه به صورتِ نمادی فعلی آن، بلکه به عنوان مجموعۀ معادلات و مسائلی، از نوع جبری، پیشینه ای طولانی دارد. بابلی های باستان (ح قرن ۱۸پ م) با مبانی جبر آشنا بودند. لوح های فراوانی از آن ها، حاوی مجموعه هایی از مسائل و جواب هایشان، به جا مانده که ظاهراً تمرین های درسی بوده اند. همچنین، ریاضیدانان عهد باستان در مصر۹، چین، و هند نیز به این موضوع توجه داشته اند. رسالۀ جامعی دربارۀ این موضوع با نام آریثمتیکا۱۰، در قرن ۳م به دست دیوفانتوسِ اسکندرانی۱۱ نوشته شد که در آن، تاحدودی نمادها به کار رفته اند. در قرن ۳ق، خوارزمی کتاب مهم و مؤثر خود حساب الجبر و المقابله را براساس اثر دیوفانتوس و منابع هندی تألیف کرد. تکوین نمادگذاری از دوران باستان تا قرون وسطا، معادله ها و حل آن ها را با استفاده از کلمات یا به زبان هندسی بیان می کردند. فقط در آریثمتیکای دیوفانتوس تا حدی از علایم استفاده شده بود. در قرن ۱۶، به سبب پیچیدگی فزایندۀ حکم های ریاضی، که بیان آن ها با استفاده از کلمات بسیار دشوار بود، استفادۀ جدی از نمادها در جبر، عمدتاً به ابتکار فرانسوا ویِت۱۲، آغاز شد. این نمادگذاری به تحقیقات بعدی در جبر بسیار کمک کرد، زیرا وسیلۀ مناسبی برای «کوتاه نویسی» بود و تشابهات بین مسائل گوناگون را آشکار کرده و راه کشف روش ها و حکم های عام را نشان می داد. اعداد چهارگانی۱۳ و قانون خودتوانی۱۴ جبر در اواسط قرن ۱۹ به مرحلۀ کاملاً جدیدی از تجرید دست یافت. در ۱۸۴۳، سِر ویلیام روان همیلتون۱۵ با کشف کواترنیون ها، چهارگان ها یا اعداد چهارگانی، دستگاه اعداد را به منظور مطالعۀ فضای سه بعدی گسترش داد. در این دستگاه گسترش یافته، قانون تعویض پذیری۱۶ (جابه جایی) ضرب۱۷ در حالت کلی برقرار نیست، یعنی برای بیشتر کواترنیون های a و ab≠ ba, b در ۱۸۵۴، جورج بول۱۸ نمادگان جبری را در منطق۱۹ به کار برد و آن ها را برای این مبحث کاملاً مناسب یافت. او مجبور شد فقط یک «قانون خاص» وضع کند که مطابق آن a۲ = a . این قانون را خودتوانی نامید.
ساختارهای جبری. این کشفیات به درک این موضوع انجامید که وجود ساختارهای جبری۲۰ متعددی امکان پذیر است و هریک را می توان با عمل یا اعمالی توصیف کرد که بر اشیاء مشخصی صورت می گیرند و در قوانین خاصی می گنجند. مثلاً، در دستگاه اعداد۲۱، دو عمل جمع و ضرب بر اعداد انجام می شوند و از قوانین تعویض پذیری (جابه جایی)، شرکت پذیری۲۲، و توزیع پذیری۲۳ تبعیت می کنند. بنابه اصطلاحات امروزی، هر ساختار جبری مرکب است از یک مجموعۀ A و عمل یا اعمالی دوتایی، یعنی تابع۲۴ هایی که A×A را به A می نگارند، که در اصول موضوع۲۵ مشخص شده ای صدق می کنند. نمونه ای از این ساختارها گروه است که از قرن ۱۸ مورد توجه و مطالعه قرار گرفت. این ساختار نخست برای مطالعۀ حل پذیری معادلات چندجمله ای مطرح شد، ولی در مسائل متعدد دیگری، ازجمله در هندسه۲۶، نیز ظاهر شد و حتی کاربردهایی در فیزیک نوین یافت. هدف عمدۀ جبر نوین مطالعۀ هر یک از ساختارهای ممکن است تا قواعدی کلی برای هر ساختار به دست آید، به صورتی که در هر وضعیتی که ساختار ظاهر می شود، صادق باشند. تاکنون ساختارهای متعددی بررسی شده اند. از ۱۹۳۰، با مطالعۀ جبر عام۲۷، که ویژگی های مشترک همۀ انواع ساختارهای جبری را دارد، تعمیم گسترده تری از آن ها نیز میسر شده است. در واقع، جبر جدید مشتمل بر جبر سنتی و مقدماتی، به اضافۀ مباحث متعدد دیگری است که صورتی بسیار تعمیم یافته پیدا کرده اند.arithmetic symbols variabls unknown quantities polynomial equations determinant matrix root Egypt Arithmetica Diophantus of Alexandria François Viète quaternions idempotent law Sir William Rowan Hamilton commutative law multiplication George Boole logic number system associative law distributive law function axioms geometry universal algebra