حساب دیفرانسیل

در ریاضیات، حساب دیفرانسیل یکی از زیرمجموعه های حسابان است که به مطالعهٔ نرخ تغییرات کمیت ها می پردازد. این حساب یکی از دو بخش سنتی حسابان است که بخش دیگر آن، حساب انتگرال است.
هدف اصلی مطالعهٔ حساب دیفرانسیل، محاسبهٔ تغیرات یک تابع و کاربردهای آن است. مشتق تابع در یک نقطهٔ دلخواه، نرخ تغییرات تابع در آن نقطه را توصیف می کند. فرایند یافتن مشتق، مشتق گیری نامیده می شود. از نظر هندسی، مشتق در یک نقطه شیب خط مماس روی نمودار تابع با جهت مثبت محور طول ها در همان نقطه است؛ به شرطی که مشتق در آن نقطه موجود باشد. مشتق تابع حقیقی یک متغیره در هر نقطه، بهترین تقریب خطی برای تابع در آن نقطه است.
حساب دیفرانسیل و حساب انتگرال با قضیهٔ اساسی حسابان به یکدیگر مرتبط می شوند. این قضیه بیان می کند که مشتق گیری معکوس انتگرال گیری است.
مشتق گیری تقریباً در همهٔ علوم کمّی کاربرد دارد. برای نمونه، در فیزیک، مشتق جابجایی یک جسم متحرک برحسب زمان نشان دهندهٔ سرعت آن جسم و مشتق سرعت برحسب زمان بیانگر شتاب است. مشتق تکانهٔ یک جسم معادل با نیروی وارد بر آن جسم است و بازنویسی این مشتق گیری معادلهٔ معروف F = ma را که متناظر با قانون دوم حرکت نیوتن است، به دست می دهد. نرخ واکنش یک واکنش شیمیایی، یک مشتق است. مشتقات در تحقیق در عملیات، پربازده ترین روش های حمل مواد و طراح کارخانه ها را تعیین می کنند.
مشتقات برای یافتن بیشینه و کمینهٔ یک تابع نیز به کار می روند. معادلات دربرگیرندهٔ مشتقات، معادلات دیفرانسیل نامیده می شوند و در توصیف پدیده های طبیعی دارای اهمیت هستند. از مشتقات و تعمیم آن ها در بسیاری از شاخه های ریاضیات، مانند آنالیز مختلط، آنالیز تابعی، هندسهٔ دیفرانسیل، نظریهٔ اندازه و جبر مجرد بهره برده می شود.
فرض کنید x و y دو عدد حقیقی هستند و y تابعی از x است، یعنی برای هر مقدار x یک مقدار متناظر y وجود دارد. این رابطه را می توان به صورت y = f ( x ) نوشت. اگر f ( x ) معادلهٔ خط راست باشد، دو عدد حقیقی m و b وجود دارند که y = mx + b. در این رابطه، m شیب نامیده می شود و از رابطهٔ زیر قابل محاسبه است:
که در آن Δ ( حرف یونانی بزرگ دلتا ) نماد تغییرات است. عبارت بالا نتیجه می دهد که Δy = m Δx.
تابع ها عموماً خطی نیستند و شیب ثابت ندارند. از نظر هندسی، مشتق f در نقطهٔ x=a شیب خط مماس بر تابع f در نقطهٔ a است که معمولاً به صورت f ′ ( a ) در نمادگذاری لاگرانژی یا dy/dx| x = a در نمادگذاری لایبنیتزی نمایش داده می شود. از آن جایی که مشتق همان شیب تقریب خطی f در نقطهٔ a است، مشتق بهترین تقریب خطی f در نزدیکی a را به دست می دهد.