عمل دوتایی

عمل دوتایی[ ۱] ( به انگلیسی: binary operation یا dyadic operation ) در ریاضیات، محاسبه ای است که در آن دو عنصر ( که به آن عملوند گفته می شود ) را ترکیب می کند تا یک عنصر دیگر را تولید کند. به صورت صوری تر، یک عمل دوتایی یک عملیات با آریتی ( درجه ) دو است.
از مهم ترین و پرکاربردترین مفاهیم در جبر مجرد است.
شاید تا به حال فرایندهای زیادی را دیده باشید که طی آن دو چیز با هم ترکیب می شوند و شی سوم متمایزی را حاصل می دهند.
مثلاً تصور کنید در یک کلاس درس معلم کلاس می گوید «ب»، «آ» و دانش آموزان با هم فریاد می زنند «با». این بار معلم می گوید «ب»، «و» و این بار دانش آموزان فریاد می زنند «بو» یا در مثالی دیگر در طبیعت مولکول های هیدروژن و اکسیژن با هم ترکیب شده و ماده سومی چون آب را پدیدمی آورد.
این ها همگی نمونه هایی از اعمالی دوتایی هستند که در طی آن ها دو عنصر شرکت کننده عنصر سومی را پدیدمی آورند.
اعمال دوتایی و به دنبال آن ساختارهای جبری از مهم ترین و مقدماتی ترین مفاهیم در جبر مجرد هستند. در ادامه به تعریف دقیق یک عمل دوتایی در جبر می پردازیم و ویژگی های آن ها را بررسی می کنیم.
یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی G تابعی است چون ∗ : G × G → G از G×G به توی G که به هر عضو ( a, b ) از G×G یک عضو یکتا چون C از G را نسبت می دهد.
لازم به یادآوری است که G×G حاصل ضرب دکارتی G در خودش است.
با توجه به تعریف یک عمل دوتایی، یک عمل دوتایی چون * روی یک مجموعه ناتهی G باید واجد شرایط زیرباشد:
• عمل دوتایی روی کل دامنه خود یعنی G×G تعریف شده باشد.
• عمل دوتایی * یک تابع خوش تعریف از G×G به توی G باشد یعنی به هر عضو G×G عنصر یکتایی از G را نسبت می دهد.
• حاصل ترکیب دو عضو ( a, b ) تحت یک عمل دوتایی باید متعلق به G باشد. به عبارت دیگر مجموعه G نسبت به عمل دوتایی خود بسته باشد.
• عمل دوتایی را که سبب ترکیب هر دو عضو مجموعه ناتهی G می شود، معمولاً با * یا ° نمایش می دهیم.
برای نمایش اینکه، * یک عمل دوتایی تعریف شده در مجموعه ناتهی G باشد می نویسم ( *، G ) و برای هر ( a, b ) عضو G×G، حاصل عمل * روی زوج مرتب ( a, b ) را به صورت ( a, b ) * یا معمول تر به فرم a*b نشان می دهیم و معمولاً برای سهولت در نوشتن a*b را نیز به صورت ab می نویسیم.
همچنین معمولاً یک عمل دوتایی روی یک مجموعه را با دو نماد جمعی + و ضربی. نشان می دهیم که نباید آن ها را با جمع و ضرب اعداد خلط کرد.