فضای همبند در شاخه توپولوژی ریاضیات، فضایی را گویند که هیچ جداسازی نداشته باشد. فضایی که همبند نباشد را ناهمبند می خوانند. یک جداسازی یعنی زوج مرتبی مانند ( U , V ) که U و V دو مجموعه باز غیر تهی Xاند به طوری که X = U ∪ V .
زیرمجموعه ای از فضای توپولوژیکی X را یک مجموعه همبند می نامند اگر به عنوان زیرفضایی از X، فضایی هم بند باشد.
می توان به سادگی شکل هایی ناهمبند تجسم کرد. یک مثال ساده عبارت است از فضای تشکیل شده از دو مستطیل که هریک از آن ها فضایی است که با دیگری پیوند ندارد. این فضا هم بند نیست؛ چرا که این دو مستطیل از هم جدا هستند. مثال خوب دیگری نیز وجود دارد و آن صفحه ای است که یک بخش با شکل حلقه ای از آن حذف شده باشد. این فضا نیز هم بند نیست؛ زیرا نمی توان یک نقطه از درون حلقه را به نقطه ای در بیرون حلقه پیوند داد و در اینجا علت برگزیدن واژة «هم بندی» دیده می شود.
اگر X یک فضا و a, b دو نقطه از آن باشند. در این صورت منظور از یک راه در X از a به b تابعی پیوسته مانند α : → X است به طوری که α ( 0 ) = a , α ( 1 ) = b می باشد. فضای X را همبند راهی می خوانیم اگر به ازای هر دو نقطه از X راهی در X از a به b وجود داشته باشد.
فضای توپولوژیکی X ناهم بند نامیده می شود اگر بتوان آن را به صورت اجتماع جدا از هم مجموعه های باز نوشت. در غیر این صورت، گفته می شود X هم بند است. گفته می شود زیرمجموعه ای از یک فضای توپولوژیکی هم بند است اگر تحت توپولوژی زیرفضایی هم بند باشد. برخی از نویسندگان مشخصاً مجموعه تهی را از این تعریف حذف می کنند؛ چرا که با توپولوژی یکتای خود می تواند فضایی هم بند باشد، ولی این دانش نامه از این راه پیروی نمی کند.
برای فضای توپولوژیکی X، شرایط زیر معادل هستند:
• X هم بند است.
• X را نمی توان به دو مجموعه بسته جدا از هم ناتهی بخش کرد.
• تن ها زیرمجموعه های X که هم باز هستند و هم بسته ( مجموعه های بازسته ) ، X و مجموعه تهی هستند.
• تن ها زیرمجموعه های X که مرز تهی دارند، X و مجموعه تهی هستند.
• X را نمی توان به صورت اجتماع دو مجموعه جدا شده ناتهی نوشت.
۶. تن ها نگاشت های پیوسته از X به {۰، ۱}، نگاشت ثابت است.
زیرمجموعه های ماکسیمال هم بند هر فضای توپولوژیکی، سازه های هم بند آن فضا نامیده می شوند. این سازه ها فضای مفروض را افراز می کنند ( یعنی، ناتهی و جدا از هم هستند و اجتماع آن ها نیز کل فضا را تشکیل می دهد ) . هر سازه زیرمجموعه بسته ای از فضای اصلی است. به طور کلی، این سازه ها لازم نیست باز باشند: برای نمونه، سازه های اعداد گویا مجموعه های تک نقطه ای هستند. فضایی که در آن همهٔ سازه ها مجموعه های تک نقطه ای باشند، یک سره ناهم بند نامیده می شود. فضای X یک سره جداشده نامیده می شود اگر برای هر دو عنصر x و y از X، همسایگی های باز جدا از هم U برای x و V برای y وجود داشته باشند به گونه ای که X برابر باشد با اجتماع U و V. آشکار است که هر فضای یک سره جداشده، یک سره ناهم بند نیز هست؛ اما وارون آن درست نیست. برای نمونه، دو کپی از مجموعه اعداد گویا Q را در نظر بگیرید و در هر نقطه به جز صفر، آن ها را بازشناسید. فضای حاصل، با توپولوژی خارج قسمتی، یک سره ناهم بند است؛ ولی با در نظر گرفتن دو کپی از صفر، دیده می شود که این فضا یک سره جداشده نیست. در حقیقت این فضا حتی هاوسدورف هم نیست و شرط یک سره جداشدگی اکیداً قوی تر از شرط هاوسدورف بودن است.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفزیرمجموعه ای از فضای توپولوژیکی X را یک مجموعه همبند می نامند اگر به عنوان زیرفضایی از X، فضایی هم بند باشد.
می توان به سادگی شکل هایی ناهمبند تجسم کرد. یک مثال ساده عبارت است از فضای تشکیل شده از دو مستطیل که هریک از آن ها فضایی است که با دیگری پیوند ندارد. این فضا هم بند نیست؛ چرا که این دو مستطیل از هم جدا هستند. مثال خوب دیگری نیز وجود دارد و آن صفحه ای است که یک بخش با شکل حلقه ای از آن حذف شده باشد. این فضا نیز هم بند نیست؛ زیرا نمی توان یک نقطه از درون حلقه را به نقطه ای در بیرون حلقه پیوند داد و در اینجا علت برگزیدن واژة «هم بندی» دیده می شود.
اگر X یک فضا و a, b دو نقطه از آن باشند. در این صورت منظور از یک راه در X از a به b تابعی پیوسته مانند α : → X است به طوری که α ( 0 ) = a , α ( 1 ) = b می باشد. فضای X را همبند راهی می خوانیم اگر به ازای هر دو نقطه از X راهی در X از a به b وجود داشته باشد.
فضای توپولوژیکی X ناهم بند نامیده می شود اگر بتوان آن را به صورت اجتماع جدا از هم مجموعه های باز نوشت. در غیر این صورت، گفته می شود X هم بند است. گفته می شود زیرمجموعه ای از یک فضای توپولوژیکی هم بند است اگر تحت توپولوژی زیرفضایی هم بند باشد. برخی از نویسندگان مشخصاً مجموعه تهی را از این تعریف حذف می کنند؛ چرا که با توپولوژی یکتای خود می تواند فضایی هم بند باشد، ولی این دانش نامه از این راه پیروی نمی کند.
برای فضای توپولوژیکی X، شرایط زیر معادل هستند:
• X هم بند است.
• X را نمی توان به دو مجموعه بسته جدا از هم ناتهی بخش کرد.
• تن ها زیرمجموعه های X که هم باز هستند و هم بسته ( مجموعه های بازسته ) ، X و مجموعه تهی هستند.
• تن ها زیرمجموعه های X که مرز تهی دارند، X و مجموعه تهی هستند.
• X را نمی توان به صورت اجتماع دو مجموعه جدا شده ناتهی نوشت.
۶. تن ها نگاشت های پیوسته از X به {۰، ۱}، نگاشت ثابت است.
زیرمجموعه های ماکسیمال هم بند هر فضای توپولوژیکی، سازه های هم بند آن فضا نامیده می شوند. این سازه ها فضای مفروض را افراز می کنند ( یعنی، ناتهی و جدا از هم هستند و اجتماع آن ها نیز کل فضا را تشکیل می دهد ) . هر سازه زیرمجموعه بسته ای از فضای اصلی است. به طور کلی، این سازه ها لازم نیست باز باشند: برای نمونه، سازه های اعداد گویا مجموعه های تک نقطه ای هستند. فضایی که در آن همهٔ سازه ها مجموعه های تک نقطه ای باشند، یک سره ناهم بند نامیده می شود. فضای X یک سره جداشده نامیده می شود اگر برای هر دو عنصر x و y از X، همسایگی های باز جدا از هم U برای x و V برای y وجود داشته باشند به گونه ای که X برابر باشد با اجتماع U و V. آشکار است که هر فضای یک سره جداشده، یک سره ناهم بند نیز هست؛ اما وارون آن درست نیست. برای نمونه، دو کپی از مجموعه اعداد گویا Q را در نظر بگیرید و در هر نقطه به جز صفر، آن ها را بازشناسید. فضای حاصل، با توپولوژی خارج قسمتی، یک سره ناهم بند است؛ ولی با در نظر گرفتن دو کپی از صفر، دیده می شود که این فضا یک سره جداشده نیست. در حقیقت این فضا حتی هاوسدورف هم نیست و شرط یک سره جداشدگی اکیداً قوی تر از شرط هاوسدورف بودن است.
wiki: فضای همبند