قطب و خط قطبی

در هندسه، قطب و خط قطبی ( انگلیسی: Pole and polar ) به ترتیب نقطه و خطی هستند که رابطهٔ بازگشتی یکتایی نسبت به یک مقطع مخروطی معین دارند.
قطب و خط قطبی ویژگی های مفیدی دارند که برخی از آن ها عبارتند از:
• اگر نقطهٔ P روی خط l باشد، قطب L متعلق به خط l روی خط قطبی p مرتبط با نقطهٔ P است.
• اگر نقطهٔ P در راستای خط l حرکت کند، خط قطبی اش ( p ) به دور قطب L خط l خواهد چرخید.
• اگر بتوان دو خط مماس از قطب به یک مقطع مخروطی رسم کرد، خط قطبی آن قطب هر دو را قطع می کند.
• اگر نقطه ای روی یک مقطع مخروطی باشد، خط قطبی آن مماسی است که از این نقطه به مقطع مخروطی می رود.
• اگر نقطه P روی خط قطبی خودش باشد، آنگاهP روی مقطع مخروطی است.
• هر خطی نسبت به یک مقطع مخروطی یک و فقط یک قطب دارد.
کارل گئورگ کریستیان فان اشتات ( ۱۷۹۸ - ۱۸۶۷ ) نشان داد که رابطه ای که یک مقطع مخروطی بین قطب و خط قطبی ایجاد می کند از خود منحنی بنیادی تر است و می تواند برای تعریف این منحنی ها به شکلی متقارن و برگشتی ( به عنوان مکان هندسی نقاطی که روی خط قطبی خودشانند، یا منحنی محاطی خطوطی که از قطب خودشان می گذرند ) به کار رود. [ ۱]
اگر معادلهٔ بیضی را از معادلهٔ عام منحنی های درجهٔ دوم نوشته شود ( A x x x 2 + 2 A x y x y + A y y y 2 + 2 B x x + 2 B y y + C = 0 ) ، معادلهٔ خط قطبی نقطهٔ ( ξ , η ) عبارت خواهد بود از:[ ۲]
که در آن D و E و F ثابت هایی اند که به شکل زیر تعریف می شوند:
با داشتن معادلهٔ خط قطبی ( D x + E y + F = 0 ) نیز می توان قطب آن را با قرار دادن مقادیر x و y و z از محاسبهٔ زیر در ( x z , y z ) بدست آورد:[ ۳]