معادله لوتکا ولتررا

معادله لوتکا - ولتررا ( به انگلیسی: Lotka–Volterra equation ) که همچنین معادلهٔ شکارچی - شکار ( به انگلیسی: predator - prey equation ) نامیده می شود، یک زوج معادله دیفرانسیلی غیرخطی است که به عنوان مدلی برای سیستم های زیستی که در آن ها دو گونه به صورت شکارچی و شکار وجود دارند، بکار می رود. این معادلات اولین بار توسط آلفرد لوتکا[ ۱] در ۱۹۲۵ و ویتو ولترا[ ۲] ۱۹۲۶ ارائه شدند. این معادلات به صورت زیر بیان می شوند:
d x d t = x ( α − β y )
d y d t = − y ( γ − δ x )
که در آن ها y تعداد شکارچی ها، x تعداد شکارها، t زمان و α، β، γ و δ پارامترهای مشخصه برهم کنش شکارچی ها و شکارها است.
• معادله شکارها می شود:
رشد لجستیک شکارها توسط x نشان داده شده که به میزان α در dx تأثیر می گذارد و y نشان دهندهٔ تعداد گونهٔ شکارچی در رشد لجستیک است و به این معناست که به میزان تعداد برخوردهای گونه x و y که برابر است با xy و نرخ شکار شدن β میزان تعداد کم شدن x را نشان می دهد پس به میزان βxy ( یا شکار شدن x ) از جمعیت لجستیک x در هر وهله تغییراتی زمانی از جمعیت αx کم می کنیم.
• معادله شکارچی ها می شود:
در این معادله δ x y نشان دهنده افزایش جمعیت شکارچی ها است و γ y نشانگر مرگ طبیعی آنهاست ( که یک نوع ثابت واپاشی می باشد ) .
برای هر معادله دیفرانسیلی می توان نمودار dot plot کشید اما چنانچه نموداری را در dot plot رسم کنم که در هر نقطه از آن dx/dt صفر شود ایزو کلاین آن نام دارد و از نظر زیستی هر شکلی از آن تحلیل خاصی دارد.
برای هر نقطه در نمودار، تمایل شیب رشدها به سمت نقطه تقاطع دو نمودار است.
برای برخی نقاط انقراض صید و برخی صیاد مدنظر است و در نقاطی به تعادل در نقطه تعادل می رسیم.
برای هر نقطه در نمودار، صیاد منقرض می شود.
برای هر نقطه در نمودار، صید منقرض می شود. ( دقت کنید این مدل فقط ریاضیاتی است و تا حد خوبی بر طبیعت منطبق است و نه کاملاً )