نرم

نرم (ریاضیات). نُرم یا هَنج[ ۱] ( به انگلیسی: Norm ) در ریاضی و رشته های مربوط به آن در مواردی استفاده دارد که عناصر به مقادیر مثبت محدود باشند. تابع حقیقی ‖ . ‖ تعریف شده بر فضای برداری X را نُرم نامیم اگر در سه خاصیت زیر صدق کند:
• به ازای هر x ∈ X {\displaystyle x\in X} ، ‖ x ‖ ≥ 0 {\displaystyle \|x\|\geq 0} ، و ‖ x ‖ = 0 {\displaystyle \|x\|=0} اگر و فقط اگر x = 0 {\displaystyle x=0}
• به ازای هر x {\displaystyle x} و α ∈ R {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} } ، ‖ α x ‖ = | α | ‖ x ‖ {\displaystyle \|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|}
• به ازای هر y ∈ X {\displaystyle y\in X} و x {\displaystyle x} ، ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ {\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|} ( نابرابری مثلثی )
اگر خاصیت اول از تعریف نُرم را حذف کنیم، تابع جدیدی به دست می آید که به آن نیم نُرم می گوییم.
فضای برداری X مجهز به نُرم ‖ . ‖ را یک فضای برداری نُرم دار می نامیم. از آنجایی که دامنهٔ تعریف نُرم، فضایی برداری است، بسته به اینکه اعضای فضای برداری چه باشند، نُرم ممکن است برای بردار، ماتریس، یا تابع، تعریف شود. ورودی نُرم، عضوهای فضای برداری و خروجی آن عدد حقیقی مثبتی است پس بُرد هر نُرم، مجموعه اعداد حقیقی مثبت می باشد. هر نُرم در فضای برداری تعریف شده بر آن، متری القا می کند؛ بنابراین هر فضای نُرم دار، یک فضای برداری متری است.
فرض کنید 1 ≤ p < ∞ باشد، p–نُرم به صورت زیر تعریف می شود:
اگر مقدار p برابر ۲ باشد، نُرم حاصله، نُرمِ اُقلیدسی نامیده می شود.
همان قدر مطلق است؛ مثلاً ۳= |۳ - | و دربارهٔ اعداد مختلط می شود:
z = x + i y
| z | = x 2 + y 2
که به آن L2 یا نرم اقلیدسی نیز گویند، اندازه آن بردار است:
‖ x ‖ 2 := x 1 2 + ⋯ + x n 2 . = x ⋅ x .

نرم (سرایان). نَرم روستایی در دهستان مصعبی بخش آیسک شهرستان سرایان استان خراسان جنوبی ایران است. در قرن های گذشته نام این روستا خوش منزل بوده است که پس از حمله مغول به ایران و هجومی که به این روستا انجام شد ، روستا تخریب و به اصطلاح نرم شد و پس از آن نام روستا به نرم که حاکی از خرابی و آسیب زیاد است تغییر پیدا کرده است. این روستا در فاصله 36 کیلو متری شمال شرق شهر فردوس در استان خراسان جنوبی واقع شده وتا سال 1384 در تقسیمات کشوری جزء این شهرستان محسوب می شد، ولی بعد از تقسیمات جدید خراسان جزء خراسان جنوبی ، شهرستان سرایان، بخش آیسک، دهستان مصعبی قرار گرفت.
کوههای معروف روستا سیاه کوه، کمردوز، قلارخانه و قله گزرگوک از شهرت بیشتری برخوردارند ویکی از ویژگیهای فوق العاده این روستا قرار گرفتن در موقعیت خاصی است که **دوسمت روستا دو دره نسبتا عمیق قرار گرفته که روستا را از خطر هرگونه سیل و آبگرفتگی در امان نگه می دارد در هسته مرکزی روستا مسجد واقع شده است سه درخت چنار نسبتا بزرگ دربالا، مرکز و پایین روستا از دیگر جلوه های ظاهری روستا هستند مجموعه باغات با نام علی پیاده درشرق روستا قراردارد که از آب قنات جداگانه ای و با آبدهی خوبی بهره می گیرد. بر پایه سرشماری عمومی نفوس و مسکن در سال ۱۳۹۰ جمعیت این روستا ۵۶ نفر ( در ۲۶ خانوار ) بوده است. [ ۱]