هندسه محدب

در ریاضیات، هندسهٔ محدب یک شاخه از هندسه است که به بررسی مجموعه های محدب می پردازد. مجموعه های محدب در زمینه های بسیاری از جمله هندسه محاسباتی، آنالیز محدب، آنالیز تابعی، برنامه ریزی خطی، نظریه احتمالات، هندسهٔ اعداد و غیره کاربرد دارد.
مطابق خوشه بندی موضوعی ریاضیات[ ۱] موضوعات هندسهٔ محدب دارای سه بخش اصلی زیر است:
• تحدب عمومی
• چندوجهی ها
• هندسهٔ گسسته
موضوعات مورد بحث در هندسهٔ محدب در ترکیبیات نیز کاربرد دارند.
هندسهٔ محدب یک رشته نسبتاً جوان در ریاضیات است. اولین بررسی ها در هندسهٔ محدب را می توان در نوشته های اقلیدس و ارشمیدس پیدا نمود ولی با فعالیت های هرمان بران ( به انگلیسی: Hermann Brunn ) و هرمان مینکوفسکی در هندسهٔ دو بعدی و سه بعدی در قرن بیستم، هندسهٔ محدب به صورت یک شاخهٔ مستقل از ریاضیات در نظر گرفته شد. بسیاری از نتایج آن به سرعت به ابعاد بالاتر از سه تعمیم داده شد. در سال ۱۹۳۴ میلادی تامی بانیسین ( به انگلیسی: Tommy Bonnesen ) و ورنر فنشل یک تحقیق جامع در رابطه با هندسهٔ محدب در فضای اقلیدسی R k ارائه کردند. [ ۲] پیشرفت های بعدی در هندسهٔ محدب در کتاب راهنمای هندسهٔ محدب[ ۳] خلاصه شده است. با توجه به کاربرد روش های بهینه سازی محدب و هندسهٔ محدب در حل مسائل با بردارهای ابعاد بالا، هندسهٔ محدب مجانبی ( یا هندسهٔ محدب مدرن ) جهت تحلیل و بررسی این دسته از بردارها بنا نهاده شده است. [ ۴]
هندسه محدب مجانبی ( به انگلیسی: asymptotic convex geometry ) یا هندسه محدب مدرن ( به انگلیسی: modern convex geometry ) یک شاخه از هندسه محدب است که به بررسی شکل و قوانین حاکم بر مجموعه های محدب در ابعاد بالا و بی نهایت می پردازد. [ ۴] هندسه محدب سنتی هندسه اشکال محدب و روابط هندسی بین آن ها در فضای اقلیدسی و با ابعاد پایین را تحلیل می کند. با میل دادن ابعاد به سمت بی نهایت ویژگی های خطی و هندسی یک فضای نرم دار با ابعاد محدود یا اشکال محدب، یک رفتار مجانبی از خود نشان می دهند. در نظریهٔ هندسه محدب مجانبی، پدیده های غیرمنتظره، ساختارهای پنهان زیادی کشف شده و شهودهای و ابزار جدیدی بدست آمده است. این نظریه ساختار و مرتبهٔ اشکال را در ابعاد بالا مشخص می کند. [ ۵]
پرسش اصلی در هندسه محدب ابعاد بالا این است که یک جسم محدب در ابعاد بالا به شکل است؟. یک پاسخ اکتشافی به این سؤال این است که مجموعه محدب K در ابعاد بالا از یک توده و تعدادی شاخک تشکیل شده است. حجم اصلی مجموعه در توده بیان شده قرار می گیرد و شاخک ها حجم کمی از مجموعه را تشکیل می دهد ولی قطر بالایی دارند. اگر K به صورت صحیح مقیاس دهی شود، توده اصلی معمولاً به شکل یک توپ اقلیدسی است. شاخک ها نیز باریک و بلند هستند که اولین بار توسط ویتالی میلمن ( به انگلیسی: Vitali Milman ) توصیف شده است. تصویر توصیف شده محدب به نظر نمی رسد ولی برای آن دلیل مناسب وجود دارد. [ ۶]