چندجمله ای چبیشف

دانشنامه عمومی

چندجمله ای های چبیشف: یک دنباله از چندجمله ای های متعامد است که به طرز بازگشتی محاسبه می شود. نام این چندجمله ای ها از نام ریاضی دانِ روسی پافنوتی چبیشف برگرفته شده که اولین بار آن ها را در سال ۱۸۵۴ معرفی کرد.
پافنوتی چبیشف ریاضی دان روس متولد ۱۶ مه سال ۱۸۲۱ بود. چندجمله ای های چبیشف که به نام او شناخته می شود، یک توالی از چندجمله های متعامد است که می توان آنها را مثل فیبوناچی به صورت برگشت پذیر نوشت. این چندجمله ای ها دو نوع هستند: اول و دوم.
نوعِ اوّل آن ها با T و نوع دوم آن ها با U نشان داده می شود. علّت نام گذاری T این است که chebyshev به زبان فرانسوی Tchebyshev و به زبان آلمانی Tschebyschow است.
چندجمله های چبیشف بیشتر در تخمین کاربرد دارد و استفاده از آنها برای تخمین به مقدار زیادی خطا را کاهش می دهد. مثلاً، در اندازه گیری طول یک نیم دایره و اشکال دارای قوس استفاده می شود.
کسینوسها:
از رابطه ی زیر شروع می کنیم:
که با ۲ بار استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود. c o s ( α + β ) = c o s α c o s β − s i n α s i n β سپس، ادعا میکنیم که به ازای هر عدد صحیح مثبتِ n اعدادِ صحیح ci وجود دارد، به طوری که: c o s n θ = ∑ i = 0 n c i c o s i ( θ ) ( 2 ) تعریف: رابطه ی 2 می گوید که ( cos ( nθ یک چندجمله ای برحسب ( cos ( θ است. برایِ n ثابت، n امین چندجمله ای چبیشف به صورت زیر تعریف می شود:
که اگر ( x = cos ( θ باشد:
برای x های بین 1 و 1 -
در واقع، چندجمله ای های چبیشف نمودارهای کسینوسی است که مقیاس افقی آنها تغییر کرده است، نه مقیاس عمودی آنها. و ریشه های آن که به آنها گره هم می گویند، زمانی است که از ( cos ( θ صفر شود؛ یعنی ( برای n های طبیعی )   :
با توجه به روابط بالا، به این رابطه ی بازگشتی می رسیم:
جوابهای معادله 6 با مقدارهای اولیه داده شده در 5 چندجمله ای چبیشف نوعِ اوّل را نتیجه می دهد.
اولین چندجمله ای های نوع اول چبیشف به صورت زیر است:
شایان توجه است که این چندجمله ای ها همان بسط کسینوس مضارب صحیح و غیر منفی زوایا هستند، یعنی:
c o s 4 α = 8 c o s 4 α − 8 c o s 2 α + 1
نوعِ دوّم آن هم با همان معادله ی 6 ولی با مقادیر اولیه متفاوت 7 به دست می آید.
عکس چندجمله ای چبیشفعکس چندجمله ای چبیشف
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلف

پیشنهاد کاربران

بپرس