کروشه پواسون

در ریاضیات و مکانیک کلاسیک کروشهٔ پواسون ( Poisson bracket ) عمل گری عمده در مکانیک هامیلتونی است. کروشه پواسون همچنین ارتباط مستقیمی بین مکانیک کوانتوم و مکانیک کلاسیک برقرار می کنند.
در مختصات ذاتی ( q i , p j ) بر روی فضای فاز، اجراء عمل دوتایی کروشهٔ پواسون، در مورد دو تابع مفروض f ( p i , q i , t ) و g ( p i , q i , t ) در فضای فاز و زمان، فرم زیر را به خود می گیرد:
{ f , g } = ∑ i = 1 N
معادلات ژاکوبی - هامیلتون را می توان بر حسب کروشهٔ پواسون به صورت معادل زیر هم بیان کرد. این موضوع را می شود به طور مستقیم در یک دستگاه مختصات عادی نشان داد. فرض می کنید f ( p , q , t ) تابعی است بر روی یک خمینه. آنگاه داریم:
d d t f ( p , q , t ) = ∂ f ∂ t + ∂ f ∂ p d p d t + ∂ f ∂ q d q d t
چنانچه p = p ( t ) و q = q ( t ) را جواب های معادلات هامیلتون - ژاکوبی q ˙ = ∂ H / ∂ p و p ˙ = − ∂ H / ∂ q در نظر بگیریم خواهیم داشت:
d d t f ( p , q , t ) = ∂ f ∂ t + ∂ f ∂ q ∂ H ∂ p − ∂ f ∂ p ∂ H ∂ q = ∂ f ∂ t + { f , H }
{ F , H } = − { H , F }
یک نتیجه سریع از این خاصیت آن است که { F , F } = 0 که برای هر تابعی برقرار است.
{ F 1 + F 2 , H } = { F 1 , H } + { F 2 , H }
کروشهٔ پواسون قدرت واقعی خود را در یافتن ثابت های حرکت نشان می دهد. ثابت حرکت تابعی در فضای فاز است که به زمان وابستگی صریح ندارد، F ( q i , p i ) ، و مقدارش برای هر ذره ای ثابت است. به بیان دیگر F ( q i , p i ) ثابت حرکت است اگر که d F d t = 0 باشد. چون ما بیان کردیم که تابع F وابستگی صریح به زمان ندارد یعنی ∂ F ∂ t = 0 است، پس این تعریف از ثابت حرکت به این معناست که:
F ثابت حرکت است اگر و تنها اگر برای تمام نقاط در فضای فاز داشته باشیم: { F , H } = 0
ثابت های حرکت آشنا را می توان اکنون با توجه به این دستور العمل ساده دوباره بدست آورد:
دیدیم که به خاطر خاصیت پاد تقارنی براکت پواسون { H , H } = 0 . با استفاده از این ویژگی به این نتیجه می رسیم که:
در حالتی که هامیلتونین وابستگی صریح به زمان نداشته باشد به این نتیجه می رسیم که هامیلتونین یک ثابت حرکت است. انرژی در صورتی پایسته می ماند که وابستگی صریح به زمان نداشته باشد.