در ریاضیات، معادله سیاله یا معادلهٔ دیوفانتین معادله ای چندجمله ای با متغیرهای صحیح است که در آن معمولاً بیش از یک متغیر ( مجهول ) داشته باشیم. به یک معادله سیاله خطی می گوییم اگر برابر با جمع دو یا چند تک جمله ای درجه یک باشد، به طور مشابه به یک معادله سیاله، نمایی می گوییم اگر متغیرها در توان ها ظاهر شوند.
معمولاً دستگاه معادلات سیاله دستگاهی از معادلات چند مجهولی است که در آن تعداد مجهول ها از تعداد معادله ها بیشتر باشد و هدف یافتن اعداد صحیحی است که به طور همزمان همه معادلات را حل کنند. از آنجایی که چنین دستگاه معادلاتی را توسط منحنی های جبری، رویه ها جبری یا به طور کلی مجموعه های جبری را تعریف می کنند، مطالعه آنها بخشی از هندسه جبری است که هندسه دیوفانتینی نامیده می شود.
کلمه دیوفانتین به ریاضیدان قرن سوم، دیوفانت، اشاره دارد که چنین معادلاتی را مطالعه کرد و یکی از اولین ریاضیدانانی بود که نمادگرایی را وارد جبر کرد. مطالعه ریاضی مسائل دیوفانتین که دیوفانتوس آغاز کرد، اکنون آنالیز دیوفانتین نامیده می شود.
در حالی که معادلات خاص نوعی معما بوده اند و در طول تاریخ مورد توجه قرار گرفته اند، تدوین نظریه های کلی معادلات دیوفانتین ( فراتر از معادلات خطی و درجه دوم ) دستاورد قرن بیستم بود.
به طور مثال معادلهٔ x + y = 2 را می توان به صورت y = 2 − x نوشت. به ازای هر x یک مقدار برای y به دست می آید، این جواب ها را می توان با زوج ( x , 2 − x ) نشان داد. گر چه همین معادله، در مجموعه اعداد صحیح بی شمار پاسخ دارد، اما اگر همین معادله را در اعداد طبیعی حل کنیم، معادله جواب کاملاً محدود و مشخصی خواهد داشت که در این جا تنها پاسخ معادلهٔ x + y = 2 در اعداد طبیعی ( ۱و۱ ) است.
در معادلات سیاله زیر، w, x، y و z مجهول هستند و حروف دیگر ثابت ها را نشان می دهند:
ساده ترین معادله سیاله خطی به شکل a x + b y = c است که در آن a, b و c اعداد صحیح داده می شوند. راه حل ها با قضیه زیر[ ۱] توصیف می شوند:
فرض کنیم a, b و c اعداد صحیح مثبت باشند و بزرگترین مقسوم علیه مشترک a و b برابر با d باشد. معادله a x + b y = c در مجموعه اعداد صحیح راه حل دارد اگر و فقط اگر d | c . به علاوه اگر d | c و ( x 0 , y 0 ) یک جواب برای معادله باشد، آنگاه کلیه جواب های معادله عبارتند از: { x k = x 0 + k b d y k = y 0 − k a d که در آن k عددی صحیح است. اثبات: فرض کنید ( x 0 , y 0 ) یک جواب برای معادله باشد، در این صورت از d|a و d|b نتیجه می شود که d | a x 0 + b y 0 = c ؛ لذا d|c یک شرط لازم برای وجود جواب خواهد بود، نشان می دهیم این شرط کافی نیز هست؛ بنابراین فرض کنید که d|c آنگاه وجود دارد m که c=dm پس بنابه قضیه بزو اعداد صحیح μ و ν پیدا می شوند که μ a + ν b = d و لذا ( m μ ) a + ( m ν ) b = d m = c و این یعنی ( m μ , m ν ) جوابی برای معادله است.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفمعمولاً دستگاه معادلات سیاله دستگاهی از معادلات چند مجهولی است که در آن تعداد مجهول ها از تعداد معادله ها بیشتر باشد و هدف یافتن اعداد صحیحی است که به طور همزمان همه معادلات را حل کنند. از آنجایی که چنین دستگاه معادلاتی را توسط منحنی های جبری، رویه ها جبری یا به طور کلی مجموعه های جبری را تعریف می کنند، مطالعه آنها بخشی از هندسه جبری است که هندسه دیوفانتینی نامیده می شود.
کلمه دیوفانتین به ریاضیدان قرن سوم، دیوفانت، اشاره دارد که چنین معادلاتی را مطالعه کرد و یکی از اولین ریاضیدانانی بود که نمادگرایی را وارد جبر کرد. مطالعه ریاضی مسائل دیوفانتین که دیوفانتوس آغاز کرد، اکنون آنالیز دیوفانتین نامیده می شود.
در حالی که معادلات خاص نوعی معما بوده اند و در طول تاریخ مورد توجه قرار گرفته اند، تدوین نظریه های کلی معادلات دیوفانتین ( فراتر از معادلات خطی و درجه دوم ) دستاورد قرن بیستم بود.
به طور مثال معادلهٔ x + y = 2 را می توان به صورت y = 2 − x نوشت. به ازای هر x یک مقدار برای y به دست می آید، این جواب ها را می توان با زوج ( x , 2 − x ) نشان داد. گر چه همین معادله، در مجموعه اعداد صحیح بی شمار پاسخ دارد، اما اگر همین معادله را در اعداد طبیعی حل کنیم، معادله جواب کاملاً محدود و مشخصی خواهد داشت که در این جا تنها پاسخ معادلهٔ x + y = 2 در اعداد طبیعی ( ۱و۱ ) است.
در معادلات سیاله زیر، w, x، y و z مجهول هستند و حروف دیگر ثابت ها را نشان می دهند:
ساده ترین معادله سیاله خطی به شکل a x + b y = c است که در آن a, b و c اعداد صحیح داده می شوند. راه حل ها با قضیه زیر[ ۱] توصیف می شوند:
فرض کنیم a, b و c اعداد صحیح مثبت باشند و بزرگترین مقسوم علیه مشترک a و b برابر با d باشد. معادله a x + b y = c در مجموعه اعداد صحیح راه حل دارد اگر و فقط اگر d | c . به علاوه اگر d | c و ( x 0 , y 0 ) یک جواب برای معادله باشد، آنگاه کلیه جواب های معادله عبارتند از: { x k = x 0 + k b d y k = y 0 − k a d که در آن k عددی صحیح است. اثبات: فرض کنید ( x 0 , y 0 ) یک جواب برای معادله باشد، در این صورت از d|a و d|b نتیجه می شود که d | a x 0 + b y 0 = c ؛ لذا d|c یک شرط لازم برای وجود جواب خواهد بود، نشان می دهیم این شرط کافی نیز هست؛ بنابراین فرض کنید که d|c آنگاه وجود دارد m که c=dm پس بنابه قضیه بزو اعداد صحیح μ و ν پیدا می شوند که μ a + ν b = d و لذا ( m μ ) a + ( m ν ) b = d m = c و این یعنی ( m μ , m ν ) جوابی برای معادله است.
wiki: معادله سیاله