معادله گرما

معادلهٔ حرارت ( Heat equation ) یک معادله دیفرانسیل پاره ای خطی[ ۱] است که توزیع حرارت ( یا اختلاف دما ) را در یک دامنه داده شده توصیف می کند. نظریه معادله حرارت برای اولین بار توسط ژوزف فوریه در سال 1822 ارائه شد
برای تابع u ( x , y , z , t ) در دستگاه مختصات دکارتی با متغیرهای مکانی ( x , y , z ) و متغیر زمان t ، معادله حرارت عبارت است از:
∂ u ∂ t − α ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 ) = 0
در حالت کلی تر:
∂ u ∂ t − α ∇ 2 u = 0
که در این جا α ضریب مثبتی است که اصطلاحاً "پخشندگی گرمایی" یا "ضریب نفوذ گرمایی" نامیده می شود و میزان ضریب نفوذ هدایتی گرما را نشان می دهد. و عملگر ∇ 2 نمایانگر لاپلاسین یک تابع است. در مسائل فیزیکی مربوط به تغییرات دما تابع u ( x , y , z , t ) در واقع نمایانگر دما در مکان ( x , y , z ) و زمان t می باشد، همچنین α ضریب نفوذ حرارتی خواهد بود.
معادله حرارت یک معادله از نوع معادلات دیفرانسیل پاره ای سهموی می باشد که در شاخه های مختلف علمی کاربرد بسیار دارد. به عنوان مثال در نظریه احتمالات معادله حرارت با مطالعه حرکتهای براونی از طریق معادله فوکر - پلانک مرتبط می باشد. همینطور در بحث ریاضیات مالی، برای حل معادله دیفرانسیل پاره ایی بلک - اسکولز ابتدا از تبدیل این معادله به معادله حرارت استفاده می شود. و البته معادله نفوذ که حالت کلی تری از معادله حرارت است در مطالعه پدیده های نفوذ شیمیایی و عملیات انتقال جرم در مهندسی شیمی ظاهر می شود.
مقالهٔ اصلی: معادلات دیفرانسیل سهموی
معادلات دیفرانسیل سهموی به عنوان مدل های ریاضی حاکم بر فرایندهای پخش و نشر[ ۲] ، یا به زبانی عمومی تر، فرایندهای برگشت ناپذیر[ ۳] وابسته به زمان[ ۴] کاربردهای فراوان و متنوعی پیدا می کنند. ساده ترین نمونه از این گونه معادلات، معادلهٔ حرارت است.
فرض کنید تابعی همچون u دما را در مکان ( x , y , z ) توصیف می کند. این تابع در طول زمان با گسترش انرژی گرمایی در فضای مورد بررسی دچار تغییر می شود. معادله حرارت تغییر دما را در طول زمان مشخص می کند. تصویر سمت چپ تغییرات دما را در امتداد یک نوار فلزی نشان می دهد. معادله حرارت به خوبی بیانگر این اصل است که حرارت در طول زمان از نقطه ای به نقطه مجاورش نفوذ می کند و انرژی گرمایی هرگز خود به خود تولید نمی شود مگر در صورت وجود منبع حرارتی یا یه اصطلاح "چاهک گرمایی". برای مثال وقوع واکنش شیمیایی در یک سامانه می تواند منبع تولید انرژی گرمایی در آن سامانه باشد.