اصول احتمال

در ریاضیات می توانیم مبحثی را با چند قانون شروع کنیم سپس با استفاده از این قوانین اولیه، قوانین دیگری به وجود آوریم. معمولاً این قوانین اولیه از نظر ریاضی بدیهی ( self evident ) هستند. به این قوانین اولیه اصول احتمال می گویند. نظریه احتمالات نیز چنین روندی را دنبال می کند و به قوانین اولیه آن اصول احتمال ( به انگلیسی: probability axioms ) می گویند.
در اینجا به اصول احتمال کولموگروف ( Kolmogorov axioms ) می پردازیم. این اصول عبارتند از:
• اگر F {\displaystyle F} فضای نمونه و E {\displaystyle E} پیشامدی از فضای نمونه باشد آنگاه P ( E ) ∈ R ,   P ( E ) ≥ 0 ∀ E ⊆ F {\displaystyle P ( E ) \in \mathbb {R} , \ P ( E ) \geq 0\qquad \forall E\subseteq F}
• اگر F {\displaystyle F} فضای نمونه باشد آنگاه P ( F ) = 1 {\displaystyle P ( F ) =1}
• اگر E1 و E2 و . . . پیشامدهایی ناسازگار شمارش پذیر از فضای نمونه F {\displaystyle F} باشند آنگاه P ( E 1 ∪ E 2 ∪ ⋯ ) = ∑ i = 1 ∞ P ( E i ) . {\displaystyle P ( E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots ) =\sum _{i=1}^{\infty }P ( E_{i} ) . }
حال با استفاده از این سه اصل به استخراج نتایجی می پردازیم.
گزاره: اگر A ⊆ B آنگاه P ( A ) ≤ P ( B )
اثبات: چون A ⊆ B است پس می توان B را به صورت B = A ∪ ( A ′ ∩ B ) نوشت و چون این دو پیشامد ناسازگار هستند بنا بر اصل 3 داریم:
و بنا بر اصل 1 چون P ( A ′ ∩ B ) ≥ 0 نتیجه به دست می آید ( منظور از A ′ متمم A است ) .
گزاره: اگر F فضای نمونه و ∅ نشان دهنده پیشامد تهی باشد آنگاه
اثبات: می دانیم F ∪ ∅ = F و دو پیشامد ناسازگار هستند پس بنا بر اصل 2و 3 داریم
گزاره: اگر A پیشامدی از فضای نمونه F باشد آنگاه داریم
اثبات:
گزاره:اگر A پیشامدی از فضای نمونه F و A ′ متمم پیشامد A باشد آنگاه
گزاره: اگر A و B دو پیشامد از فضای نمونه F باشد آنگاه
با استفاده از نتایج به دست آمده در دو سطر بالا داریم
حکم ثابت می شود[ ۱] [ ۲] .