در منطق ریاضی، اصول موضوعۀ پئانو ( به انگلیسی: Peano axioms ) ، که همچنین تحت عنوان اصول موضوعۀ ددکیند - پئانو یا اصول پئانو شناخته می شوند، مجموعه ای از اصول برای اعداد طبیعی است که در قرن ۱۹ام توسط ریاضی دان ایتالیایی جوزپه پئانو ارائه شد. این اصول تقریباً بدون هیچ تغییری در تعدادی از پژوهش های فرا ریاضیاتی استفاده شده است که از جملۀ آن ها می توان به پرسش های اساسی دربارهٔ اینکه آیا نظریۀ اعداد سازگار و تام است، اشاره کرد.
زمانی که پئانو اصول موضوعه اش را فرمول بندی کرد، زبان منطق ریاضی طفولیت خود را سپری می کرد. سیستم نمادگذاری منطقی ای که او برای نشان دادن اصول ایجاد کرد، به تدریج نامحبوب از آب درآمدند؛ اگرچه این سرآغاز پیدایش نماد مدرن برای عضویت مجموعه ای ( ∈، که از ε پئانو می آید ) و استلزام ( ⊃، که از معکوس «C» پئانو می آید ) بود. [ ۱]
اصول پئانو خواص حسابی اعداد طبیعی که با یک مجموعه N یا N . نمادهای غیر منطقی برای اصول، شامل یک نماد ثابت ۰ و یک نماد تابعی تک متغیره S می شود.
اصل نخست می گوید که ثابت ۰ یک عدد طبیعی است:
۱. ۰ یک عدد طبیعی است.
چهار اصل بعدی، رابطه تساوی را توصیف می کنند. از آنجایی که آن ها در منطق مرتبه اول دارای تساوی از نظر منطقی معتبرند، در ملاحظات مدرن، آن ها به عنوان بخشی از «اصول پئانو» در نظر گرفته نمی شود. [ ۱]
۲. برای هر عدد طبیعی x، داریم x = x. یعنی تساوی بازتابی است.
۳. برای اعداد طبیعی x و y، اگر x = y، آنگاه y = x. یعنی تساوی، تقارنی است.
۴. برای اعداد طبیعی y , x و z، اگر x = y و y = z، آنگاه x = z. یعنی تساوی، متعدی است.
۵. برای هر a و b، اگر b یک عدد طبیعی بوده و a = b، در آنصورت a نیز یک عدد طبیعی است. یعنی اعداد طبیعی تحت تساوی بسته اند.
باقی اصول موضوعه، خواص حسابی اعداد طبیعی را تعریف می کنند. اعداد طبیعی، مفروض اند بر اینکه تحت یک تابع «تالی» تک متغیره S بسته اند.
۶. برای هر عدد طبیعی S ( n ) , n یک عدد طبیعی است.
۷. برای اعداد طبیعی m و n، داریم m = n اگر و تنها اگر S ( m ) = S ( n ) . یعنی، S تابعی یک به یک است.
۸. برای هر عدد طبیعی n، گزاره S ( n ) = ۰ نادرست است. یعنی هیچ عدد طبیعی وجود ندارد که تالیش صفر باشد.
فرمول بندی اصلی پئانو از اصول موضوعه، ۱ را بجای ۰ به عنوان «نخستین» عدد طبیعی در نظر می گرفت. [ ۲] این انتخاب، اختیاریست، چرا که اصل موضوعه ۱، عدد ۰ را به خواص بیشتری تجهیز نمی کند. اگرچه چون ۰ در حساب، همانی جمعی است، اغلب فرمول بندی های مدرن از اصول پئانو از ۰ آغاز می شوند. اصول ۱، ۶، ۷ و ۸ یک نمایش یکانی از مفهوم شهودی اعداد طبیعی تعریف می کنند: عدد ۱ می تواند به عنوان S ( ۰ ) ، عدد ۲ به عنوان S ( S ( ۰ ) ) ، و … تعریف شوند. اگرچه، با فرض گرفتن اعداد طبیعی ای که از اصول موضوعه استخراج می شوند، اصول ۱، ۶، ۷ و ۸ تنیجه نمی دهند که تابع تالی کل اعداد طبیعی بجز ۰ را تولید می کند. به بیان دیگر، اینها تضمین نمی کنند که هر عدد طبیعی به غیر از صفر باید از یک عدد طبیعی دیگر پیشی بگیرد.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفزمانی که پئانو اصول موضوعه اش را فرمول بندی کرد، زبان منطق ریاضی طفولیت خود را سپری می کرد. سیستم نمادگذاری منطقی ای که او برای نشان دادن اصول ایجاد کرد، به تدریج نامحبوب از آب درآمدند؛ اگرچه این سرآغاز پیدایش نماد مدرن برای عضویت مجموعه ای ( ∈، که از ε پئانو می آید ) و استلزام ( ⊃، که از معکوس «C» پئانو می آید ) بود. [ ۱]
اصول پئانو خواص حسابی اعداد طبیعی که با یک مجموعه N یا N . نمادهای غیر منطقی برای اصول، شامل یک نماد ثابت ۰ و یک نماد تابعی تک متغیره S می شود.
اصل نخست می گوید که ثابت ۰ یک عدد طبیعی است:
۱. ۰ یک عدد طبیعی است.
چهار اصل بعدی، رابطه تساوی را توصیف می کنند. از آنجایی که آن ها در منطق مرتبه اول دارای تساوی از نظر منطقی معتبرند، در ملاحظات مدرن، آن ها به عنوان بخشی از «اصول پئانو» در نظر گرفته نمی شود. [ ۱]
۲. برای هر عدد طبیعی x، داریم x = x. یعنی تساوی بازتابی است.
۳. برای اعداد طبیعی x و y، اگر x = y، آنگاه y = x. یعنی تساوی، تقارنی است.
۴. برای اعداد طبیعی y , x و z، اگر x = y و y = z، آنگاه x = z. یعنی تساوی، متعدی است.
۵. برای هر a و b، اگر b یک عدد طبیعی بوده و a = b، در آنصورت a نیز یک عدد طبیعی است. یعنی اعداد طبیعی تحت تساوی بسته اند.
باقی اصول موضوعه، خواص حسابی اعداد طبیعی را تعریف می کنند. اعداد طبیعی، مفروض اند بر اینکه تحت یک تابع «تالی» تک متغیره S بسته اند.
۶. برای هر عدد طبیعی S ( n ) , n یک عدد طبیعی است.
۷. برای اعداد طبیعی m و n، داریم m = n اگر و تنها اگر S ( m ) = S ( n ) . یعنی، S تابعی یک به یک است.
۸. برای هر عدد طبیعی n، گزاره S ( n ) = ۰ نادرست است. یعنی هیچ عدد طبیعی وجود ندارد که تالیش صفر باشد.
فرمول بندی اصلی پئانو از اصول موضوعه، ۱ را بجای ۰ به عنوان «نخستین» عدد طبیعی در نظر می گرفت. [ ۲] این انتخاب، اختیاریست، چرا که اصل موضوعه ۱، عدد ۰ را به خواص بیشتری تجهیز نمی کند. اگرچه چون ۰ در حساب، همانی جمعی است، اغلب فرمول بندی های مدرن از اصول پئانو از ۰ آغاز می شوند. اصول ۱، ۶، ۷ و ۸ یک نمایش یکانی از مفهوم شهودی اعداد طبیعی تعریف می کنند: عدد ۱ می تواند به عنوان S ( ۰ ) ، عدد ۲ به عنوان S ( S ( ۰ ) ) ، و … تعریف شوند. اگرچه، با فرض گرفتن اعداد طبیعی ای که از اصول موضوعه استخراج می شوند، اصول ۱، ۶، ۷ و ۸ تنیجه نمی دهند که تابع تالی کل اعداد طبیعی بجز ۰ را تولید می کند. به بیان دیگر، اینها تضمین نمی کنند که هر عدد طبیعی به غیر از صفر باید از یک عدد طبیعی دیگر پیشی بگیرد.
wiki: اصول موضوعه پئانو