نظریه حلقه ها

در جبر، نظریه حلقه ها به مطالعهٔ حلقه ها می پردازد. حلقه ها ساختار مجردی هستند که در آن جمع و ضرب تعریف شده و خواص مشابهی با خواص جمع و ضرب در اعداد صحیح دارند. نظریه حلقه ها به مطالعهٔ ساختار حلقه ها، نمایش های آن ها یا به زبان دیگر مدول ها و همچنین به مطالعهٔ انواع مختلف حلقه ها ( مثل حلقه های گروهی، حلقه های تقسیم و جبرهای پوششی جهانی ) می پردازد. علاوه بر این ها در این نظریه هم خواصی از حلقه ها که در خود نظریه حلقه ها کاربرد دارد می پردازند و هم به خواصی که در جاهای دیگر کاربرد داشته باشد، مثل خواص همولوژیکی و هویت های چندجمله ای.
حلقه های جابجایی بسیار بهتر از حلقه های ناجابجایی درک شده اند. هندسه جبری و نظریه جبری اعداد، که مثال های طبیعی بسیاری برای حلقه های جابجایی ارائه کرده اند، بسیاری از پیشرفت ها را در نظریه حلقه ها موجب گشته اند که اکنون به آن جبر جابجایی گفته شده و از قلمروهای اصلی ریاضیات به حساب می آید. به خاطر این که این سه حوزه از ریاضی ( هندسه جبری، نظریه جبری اعداد و جبر جابجایی ) پیوند نزدیکی با هم دارند، سخت و بی معناست که تصمیم بگیریم یک نتیجه خاص مربوط به کدام یک از این سه قلمرو می باشد. به عنوان مثال، قضیه صفرهای هیلبرت، قضیه ای است که برای هندسه جبری اهمیت حیاتی داشته در حالی که به کمک جبر جابجایی اثبات می شود. به طور مشابه، قضیه آخر فرما بر اساس حساب مقدماتی بیان می شود که بخشی از جبر جابجاییست، در حالی که اثبات آن از نتایج عمیقی حاصل می شود که برآمده از هر دو گرایش نظریه جبری اعداد و هندسه جبری اند. [ ۱]
↑ Goodearl & Warfield ( 1989 ) .