در هندسه فرمول هِرون ( رابطهٔ هِرون ) یا دیسول هِرون ( به انگلیسی: Heron's formula ) فرمولی است که با بهره گیری از آن می توان مساحت یک مثلث را بدون داشتن ارتفاع آن به دست آورد. نام آن از نام هرون اسکندرانی گرفته شده است.
این فرمول به صورت زیر بیان شده است:
در اینجا، p برابر نصف محیط مثلث، و a و b و c برابر اضلاع مثلث و S نشانه مساحت مثلث می باشند.
فرمول هرون به روش های زیر نیز می تواند نوشته شود
فرض می کنیم △ A B C و a = 5 , b = 4 , c = 3
p = a + b + c 2 → p = 6
S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) →
S = 6 ( 6 − 5 ) ( 6 − 4 ) ( 6 − 3 ) = 6
می توان صحت این فرمول و محاسبه را با استفاده از روش عادی اثبات کرد :
از آنجایی که a و b و c اعداد فیثاغورسی هستند :
a 2 = b 2 + c 2
b و c قائده و ارتفاع مثلث اند :
S = b × c 2 = 3 × 4 2 = 6
در این نمونه اندازهٔ هر ضلع مثلث به شیوهٔ عدد صحیح نوشته شده است، با این همه، فرمول هرون برای مثلث هایی که یک یا هر سه ضلع آن از عدد های ناصحیح و ده دهی باشد، نیز کاربرد دارد.
با استفاده از جبر و قوانین نسبت های مثلثاتی می توان این فرمول را اثبات کرد. این اثبات با اثباتی که هرون در کتابش ( متریکا ) در سال ۶۰ ق. م. منتشر کرده بود، متفاوت است. مثلثی با اضلاع a و b و c در نظر می گیریم که در آن زاویه مقابل ضلع به ترتیب A و B و C است. طبق قانون کسینوس ها از قانونی از کسینوس ها استفاده می کنیم که به اضلاع مثلث مرتبط باشد و متغیرهای اضلاع ان مثلث دران حضور داشته باشد زیرا می خواهیم با استدلال استنتاجی از اضلاع مثلث، مساحت آن را نتیجه بگیریم و کسینوس هر زاویه برابر است با: مجموع مربعات دو ضلعی که زاویه بین ان است منهای مربع ضلع دیگر تقسیم بر؛ ۲ برابر ضرب دو ضلعی که زاویه مورد نظر بین ان دو می باشد و به بیان ریاضی داریم: ضمناً مجموع مربع سینوس یک زاویه با مربع کسینوس همان زاویه برابر است با یک و از طریق همین رابطه سینوس بر حسب مربع کسینوس به دست می آید ( رابطه دومی که در زیر ملاحظه می کنید )
p یک نماد قراردادی است که همان نصف محیط مثلث است و قرار داد می شود که نصف محیط مثلث را p بنامیم پس اگر این حرف را عوض کنیم اشکال ندارد فقط باید بدانیم منظور همان نصف محیط مثلث است. ضمناً از روش های مربع کامل سازی و اتحاد مزدوج استفاده شده است. همان طور که گفته شد ما می خواستیم مساحت را با استفاده از اضلاع به دست آوریم ( بدون داشتن ارتفاع ) پس از قوانینی و روابطی استفاده کردیم که در بر دارنده متغیرهای اضلاع باشد یعنی در ان روابط، اضلاع مثلث وجود داشته باشد بنابراین به سراغ نسبت های مثلثاتی و اتحادهای آن ها رفتیم که به خوبی پاسخگوی نیازهای ما در قبال سوالات ریاضی در مبحث مثلثات باشد. حال شاید پرسش شما این باشد که چرا از آن اتحاد مجموع مربع سینوس و مربع کسینوس استفاده شده، در پاسخ به این سؤال باید بگویم این تنها اتحاد ساده و خوبی است که مارا در حل مسئله و ادغام روابط بالا کمک می کند و البته می شود از اتحادهای دیگر نیز کمک گرفت. این اتحاد به خوبی دو نسبت مهم و اساسی در این فرمول را پوشش می دهد و ساده تر می توان به نتیجه رسید یعنی بدون سر در گمی و زیاد شدن محاسبات.
این نوشته برگرفته از سایت ویکی پدیا می باشد، اگر نادرست یا توهین آمیز است، لطفا گزارش دهید: گزارش تخلفاین فرمول به صورت زیر بیان شده است:
در اینجا، p برابر نصف محیط مثلث، و a و b و c برابر اضلاع مثلث و S نشانه مساحت مثلث می باشند.
فرمول هرون به روش های زیر نیز می تواند نوشته شود
فرض می کنیم △ A B C و a = 5 , b = 4 , c = 3
p = a + b + c 2 → p = 6
S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) →
S = 6 ( 6 − 5 ) ( 6 − 4 ) ( 6 − 3 ) = 6
می توان صحت این فرمول و محاسبه را با استفاده از روش عادی اثبات کرد :
از آنجایی که a و b و c اعداد فیثاغورسی هستند :
a 2 = b 2 + c 2
b و c قائده و ارتفاع مثلث اند :
S = b × c 2 = 3 × 4 2 = 6
در این نمونه اندازهٔ هر ضلع مثلث به شیوهٔ عدد صحیح نوشته شده است، با این همه، فرمول هرون برای مثلث هایی که یک یا هر سه ضلع آن از عدد های ناصحیح و ده دهی باشد، نیز کاربرد دارد.
با استفاده از جبر و قوانین نسبت های مثلثاتی می توان این فرمول را اثبات کرد. این اثبات با اثباتی که هرون در کتابش ( متریکا ) در سال ۶۰ ق. م. منتشر کرده بود، متفاوت است. مثلثی با اضلاع a و b و c در نظر می گیریم که در آن زاویه مقابل ضلع به ترتیب A و B و C است. طبق قانون کسینوس ها از قانونی از کسینوس ها استفاده می کنیم که به اضلاع مثلث مرتبط باشد و متغیرهای اضلاع ان مثلث دران حضور داشته باشد زیرا می خواهیم با استدلال استنتاجی از اضلاع مثلث، مساحت آن را نتیجه بگیریم و کسینوس هر زاویه برابر است با: مجموع مربعات دو ضلعی که زاویه بین ان است منهای مربع ضلع دیگر تقسیم بر؛ ۲ برابر ضرب دو ضلعی که زاویه مورد نظر بین ان دو می باشد و به بیان ریاضی داریم: ضمناً مجموع مربع سینوس یک زاویه با مربع کسینوس همان زاویه برابر است با یک و از طریق همین رابطه سینوس بر حسب مربع کسینوس به دست می آید ( رابطه دومی که در زیر ملاحظه می کنید )
p یک نماد قراردادی است که همان نصف محیط مثلث است و قرار داد می شود که نصف محیط مثلث را p بنامیم پس اگر این حرف را عوض کنیم اشکال ندارد فقط باید بدانیم منظور همان نصف محیط مثلث است. ضمناً از روش های مربع کامل سازی و اتحاد مزدوج استفاده شده است. همان طور که گفته شد ما می خواستیم مساحت را با استفاده از اضلاع به دست آوریم ( بدون داشتن ارتفاع ) پس از قوانینی و روابطی استفاده کردیم که در بر دارنده متغیرهای اضلاع باشد یعنی در ان روابط، اضلاع مثلث وجود داشته باشد بنابراین به سراغ نسبت های مثلثاتی و اتحادهای آن ها رفتیم که به خوبی پاسخگوی نیازهای ما در قبال سوالات ریاضی در مبحث مثلثات باشد. حال شاید پرسش شما این باشد که چرا از آن اتحاد مجموع مربع سینوس و مربع کسینوس استفاده شده، در پاسخ به این سؤال باید بگویم این تنها اتحاد ساده و خوبی است که مارا در حل مسئله و ادغام روابط بالا کمک می کند و البته می شود از اتحادهای دیگر نیز کمک گرفت. این اتحاد به خوبی دو نسبت مهم و اساسی در این فرمول را پوشش می دهد و ساده تر می توان به نتیجه رسید یعنی بدون سر در گمی و زیاد شدن محاسبات.
wiki: فرمول هرون